第0051号 対数の公式（底の変換公式）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0051号 (2007/01/26) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、問題の解き方、考
え方についてちょっとしたヒントを毎週お届けします。
先日行われたセンター試験の平均点の中間集計が発表されました。ご存知の
方も多いとは思いますが、数学I・Aは54.26点、数学II・Bは51.20点でした。
昨年に比べると、やや難化の傾向が見られます。特に数学II・Bでは、相当の
計算量が要求されるので、大変だったのではないかと思います。受験生は、こ
れから行われる私大および国公立の２次に向けて、最後の調整を行うことにな
ると思います。最後まであきらめずに、がんばってください。そして、体調管
理も実力のうちですから、風邪などひかないように気をつけてください！
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
対数の底a ⇒ log_a x
──Contents─────────────────────────────
１．対数の公式（底の変換公式）
２．前回の練習問題の解答
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１．対数の公式（底の変換公式）
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今年度のセンター試験でも出されましたが、対数の公式の中でも最後の大技
である「底の変換公式」の紹介をしたいと思います。
【底の変換公式】
┌──────────────┐
│ log_c b │
│ log_a b = ───── │
│ log_c a │
└──────────────┘
まず、これは一体何をするための公式かと言いますと、その名の通り、対数
の底を変換する公式なのです！・・・って、そのまんまですね（^^； 対数の
計算で合体による計算をするときに、実は条件があったのです。それについて
あまり詳しく触れていなかったので、意識していなかったかもしれません。こ
こで再度、合体で使うときの公式を書きます。
log_a x + log_a y = log_a xy
x
log_a x - log_a y = log_a ──
y
この２つの公式を使って合体させるための条件は「底が同じである」ことです。
え？気付いてました？さすがです（^^）
つまり、log_a x と log_a y という底が等しい２つの対数の足し算や引き算
についてのみ、合体させられるのです。
そこで対数の計算において、底が異なるものがある場合には、「底を揃える
（＝等しくする）」ということが大切なアイデアの１つになってくるのです。
これは、対数の方程式や不等式を解くときにも必要になる考え方です。しかし
底を揃えるといっても、勝手に書き換えたらマズイですよね（笑）
そんなときに使えるのが、上で挙げた「底の変換公式」なのです！この公式
を使えば、底を好きな値に変えることができるのです。もちろん、好きな値と
言っても、「底」ですから、1以外の正の数ということになりますが…。
では、底の変換公式の証明をしてみましょう。
log_a b = s とおきます。
対数の定義より、
b = a^s
となります。この両辺に対して、1でないある正の数cを底とした対数の値を考
えると、
log_c b = log_c a^s
となります。ここで、右辺をさらに変形して、
log_c b = s × log_c a
とし、これをsについて解きます。
log_c b
s = ─────
log_c a
最後の仕上げとして、sを元々の log_a b に戻してやると、
log_c b
log_a b = ─────
log_c a
という底の変換公式の出来上がりです。
次回は底の変換公式を用いた計算問題を扱いますので、次回までにこの公式
を覚えておいてください。そのときに、できたら自分なりの覚え方を工夫して
みてください。覚え方はいろいろあると思いますが、いくつかのポイントにつ
いてはメルマガ第0003号に書きましたので、参考にしてください。
⇒ 第0003号 http://mathemaster.com/magback0003.htm
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２．前回の練習問題の解答
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【練習問題】次の対数の計算をしてください。
(1) 2log_5 180 - 4log_5 30
〔解答１〕方針(A)「合体」
2log_5 180 - 4log_5 30
= 2log_5 (2^2 × 3^2 × 5) - 4log_5 (2 × 3 × 5)
= log_5 (2^2 × 3^2 × 5)^2 - log_5 (2 × 3 × 5)^4
= log_5 (2^4 × 3^4 × 5^2) - log_5 (2^4 × 3^4 × 5^4)
2^4 × 3^4 × 5^2
= log_5 ─────────
2^4 × 3^4 × 5^4
1
= log_5 ── ─┐
5^2 │この部分がよく分からない人は第0048号を
│お読みください
= log_5 5^(-2) ←┘
= -2
~~~~
〔解答２〕方針(B)「分解」
2log_5 180 - 4log_5 30
= 2log_5 (2^2 × 3^2 × 5) - 4log_5 (2 × 3 × 5)
= 2(log_5 2^2 + log_5 3^2 + log_5 5) ┐
├長いので２行に分割
- 4(log_5 2 + log_5 3 + log_5 5) ┘
= 2(2log_5 2 + 2log_5 3 + 1) - 4(log_5 2 + log_5 3 + 1)
= 4log_5 2 + 4log_5 3 + 2 - 4log_5 2 - 4log_5 3 - 4
= -2
~~~~
4
(2) 3log_2 12 + 2log_2 ── - log_2 24
3
〔解答１〕方針(A)「合体」
4
3log_2 12 + 2log_2 ── - log_2 24
3
2^2
= 3log_2 (2^2 × 3) + 2log_2 ── - log_2 (2^3 × 3)
3
(2^2)^2
= log_2 (2^2 × 3)^3 + log_2 ──── - log_2 (2^3 × 3)
3^2
2^4
= log_2 (2^6 × 3^3) + log_2 ── - log_2 (2^3 × 3)
3^2
2^4 1
= log_2 (2^6 × 3^3 × ── × ────)
3^2 2^3 × 3
= log_2 2^7
= 7
~~~
〔解答２〕方針(B)「分解」
4
3log_2 12 + 2log_2 ── - log_2 24
3
2^2
= 3log_2 (2^2 × 3) + 2log_2 ── - log_2 (2^3 × 3)
3
= 3(log_2 2^2 + log_2 3) + 2(log_2 2^2 - log_2 3) ┐
├ここも２行に
- (log_2 2^3 + log_2 3)┘
= 3(2 + log_2 3) + 2(2 - log_2 3) - (3 + log_2 3)
= 6 + 3log_2 3 + 4 - 2log_2 3 - 3 - log_2 3
↑
= 7 符号注意！
~~~
できましたか？だんだん計算が複雑になってきましたので大変だと思います
が、できなかったり、間違えたりしたら、どこでつまづいたのかを見極めるよ
うにしてください。そこからスタートするのですから！間違えることは決して
恥ずかしいことではありません。間違えたり、できなかったりするからこそ、
できるようになった時の喜びは大きいものです。ぜひ頑張ってください！
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
前号で紹介した『虹色★ロケット』をまた観ました。今度は職場の同僚を誘
って観てきたのです。劇場を出た後に開口一番、「すごいね」と言っていまし
た。映画が好きで、私など足元が及ばないくらい沢山の映画を観ている方なの
ですが、「よく出来てる。面白い！」と言っていました。全国の中で、東京の
下北沢でしか上映していませんので、場所的に行くのが困難な方も多いかと思
いますが、もし行けるようであればぜひ一度観ていただけたら、と思います。
とりあえず、２月下旬までは上映する予定だそうです。
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