第0003号 公式はどうやって覚える？
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0003号 (2006/02/16) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いてちょっとしたヒントを毎週お届けします。
大学でも高校でも一般入試が始まっています。また、そろそろ３学期の期末
試験（学年末試験とも言う？）も始まる頃だと思います。数学で苦しんでいる
人を、その苦しさから少しでも解放してあげることができれば、と思っていま
す。Let's enjoy mathematics!
──Contents─────────────────────────────
１．公式はどうやって覚える？
２．正弦定理・余弦定理の場合
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１．公式はどうやって覚える？
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公式を覚えるときに、ひたすら口で唱えたり、英単語や漢字のように紙に書
いて覚えようとしたりしていませんか？ある部分では、それも必要ですが、そ
れだけではうまく覚えることはできません。仮に覚えたとしても、すぐに忘れ
たり、うまく使えなかったりしているのではないかと思います。そこで、公式
の覚え方のコツについて、ちょっとしたヒントを提供したいと思います。
まず、最初に断っておきますが、全ての人に共通の「完璧にうまい覚え方」
なんてないと私は考えています。もちろん、同じ人間ですからある程度の共通
性はあると思いますが、人によって覚え方にも得意・不得意があるのです。つ
まり、ある人にとって覚えやすい方法が、あなたにとって覚えやすい方法とは
限らないのです。ちょうど勉強の仕方と同じですね。
じゃ、覚えるコツなんかないんじゃないの？
と思うかもしれませんが、そうでもありません。人によって覚えやすい方法が
違うということを意識した上で、自分に合った方法にうまく変えていけばいい
のです。他の人がこれはいいよ、と言ったものをそのままやろうとしてもうま
くいかないのです。自分に合わせてアレンジすることを忘れないで下さい。
それでは、公式の覚え方のコツですが、次に挙げるものを組み合わせて覚え
ていけばいいのです。それらをどう組み合わせるか、どれをメインにするかは、
公式によっても、人によっても異なりますので、その辺は自分でも考えてみて
ください。
一、意味を考える
一、規則性を見つける
一、言葉で言い換えたり、言葉を手がかりにしたりする
一、映像的な特徴をつかむ
一、導く過程の大まかな流れをつかむ
一、口で唱える
一、紙に書けるように練習する
複数の方向から公式を覚えようとすることで、記憶が強化され、覚えやすくす
ると同時に、忘れにくくするという効果があります。面倒くさいな〜〜、と思
うかもしれませんが、ぜひ試してみてください。次の２．で正弦定理・余弦定
理を例として、具体的にどうすればいいのかを書いていきます。
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２．正弦定理・余弦定理の場合
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数学Ｉで学習する三角比。２次関数・２次不等式に続く、高校数学の大きな
関門の一つです。三角比そのものについては、別の機会に譲ることにしまして、
ここでは正弦定理と余弦定理の式を覚えることにしぼって、書いていきます。
まず、正弦定理・余弦定理とは、次のようなものです。
【正弦定理】
ａ ｂ ｃ
─── ＝ ─── ＝ ─── ＝ ２Ｒ （Ｒは外接円の半径）
sin Ａ sin Ｂ sin Ｃ
【余弦定理】
ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ cosＡ
ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａ cosＢ
ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ cosＣ
正直に言います。私はこの公式（定理）が大っキライでした！（笑）大体が、
正弦・余弦という言葉自体が受け入れにくいものでした。はっきり言って、何
じゃそりゃ？という感じでした。おっと、愚痴を言うところではありませんね
（笑）失礼しました。
さて、この式の覚え方ですが、正弦定理・余弦定理に共通する部分から書い
ていきます。まずは、「正弦・余弦」という言葉です。先ほど、受け入れにく
いと書きましたが、この言葉を手がかりにして覚えていくことを考えます。そ
の際、意味については深く考えないことにします。というか、本来の漢字の大
切な役割である、一つ一つの文字の意味を、ここでは考えないことにするので
す。つまり、
「正弦」の「正」とか「弦」とかの意味は気にしない
「余弦」の「余」とか「弦」とかの意味は気にしない
ということです。そこで、教科書に出ている順番、そして世間でよく言われる
順番で「正弦定理・余弦定理」という言葉をセットで覚えます。この段階では
中味は知らなくたってイイのです。とにかく「正弦定理・余弦定理」という言
葉を、呪文のように覚えましょう。それと併せて、「sin・cos（サインコサイ
ン）」もこの順番で覚えましょう。そうすると、覚えた順番で、正弦＝sin、
余弦＝cos というつながりができると思います。
次に、これは数学の中でのローカルルールなのですが、
角Ａの向かいの辺の長さをａ、
角Ｂの向かいの辺の長さをｂ、
角Ｃの向かいの辺の長さをｃとする
このように、三角形の角とその向かい側の辺の長さを組として考えます。その
おかげで、式に規則性が生まれてきます。
☆★☆正弦定理の覚え方についてのポイント☆★☆
一、キーワードは「分数」「外接円」 ←言葉を手がかり
一、△＝△＝△＝２Ｒ …（１）←映像的な特徴
これらを組み合わせます。３つの△が＝でつながっているということと、「分
数」というキーワードから、
─── ＝ ─── ＝ ─── …（２）
を作ります。そして、△という映像的なイメージと言葉から、
下（分母）の方が文字が多く、上（分子）の方が文字が少ない
「正弦」定理だから「sin」を使う
を組み合わせて、
ａ ←┐
─── ├Ａとａがセット、Ｂとｂ、Ｃとｃも同様 …（３）
sin Ａ ←┘
と、なります。上の式、△っぽく見えますよね？（笑）少なくとも、▽には見
えないと思います。分母と分子のどちらにsin Ａがくるのかは、大きな問題で
すから、この△のイメージを忘れずに覚えましょう！そして、最後に（１）〜
（３）を融合させて、
ａ ｂ ｃ
─── ＝ ─── ＝ ─── ＝ ２Ｒ
sin Ａ sin Ｂ sin Ｃ
これで正弦定理の式の出来上がりです。最後に付け加えるとしたら、Ｒって何
だっけ？と考えて、キーワードの「外接円」を思い出します。円の半径を表す
ときには、ｒかＲのどちらかを使う、という数学のローカルルールがあります
ので、それを組み合わせて「Ｒは外接円の半径」となります。ちなみに、直径
を表す定番の文字はありませんので、基本は「半径」と覚えておけばいいでし
ょう。
☆★☆余弦定理の覚え方についてのポイント☆★☆
教科書でも参考書でも、大抵は上記のように３つの式を並べて書いてありま
す。ですが、これらはどれも同じ規則性を持っていますので、その規則性を使
えば覚える式は一つで済みます。
まず、ターゲットにする角（または辺）を決めて、その向かいの辺（または
角）とセットにします。たとえば、ターゲットを角Ｂに決めれば、その向かい
の辺はｂとなりますので、Ｂとｂという組み合わせを作るのです。
【注意！】ここで、正弦定理のときのように、単なる文字だけでＡとａ、Ｂと
ｂというような組み合わせを作らないようにすることが大事です。余弦定理で
は、三角形の図と対応させながら覚えていく方が、使うときに便利です。
さて、ターゲットの辺から式を作り始めます。この際に補助的なイメージとし
て、三平方の定理を利用するといいでしょう。
まず、
ｂ^2＝
と書きます。次に、使っていない文字は何か？と考えます。もちろん、ａ、ｂ、
ｃの中で、です。そうすると、ｂからスタートしたのですから、残りはａとｃ
です。それらと三平方の定理のイメージを使って、
ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2 …（４）
とします。ただ、ここでおしまいにすると、これは三平方の定理と全く同じで
すからダメです。三平方の定理は、直角三角形のときだけ使える式です。ここ
では、全ての三角形を対象にしていますので、補正しなければなりません。そ
こで、（４）の式の右辺の最後に、補正のための式を付け加えます。
┌─セットになっている角Ｂ─┐
↑ ↓
ｂ^2＝ｃ^2＋ａ^2−２ｃａ cosＢ
↓ ↓ ~~~~↑↑~~↑~~
│ └───┼┘ └─「余弦」定理だから「cos」
└──────┘
どの式も、これと同じ構造になっていますので、一つ作れるようになれば、あ
とは楽勝です！
ちなみに、私は生徒たちに、Ａ、Ｂ、Ｃ、ａ、ｂ、ｃといった文字ではなく
次のような式で覚えるように言っています。
┌───────────────────────────┐
│ 目標とする辺の長さをｘ、その向かいの角の大きさをθ、│
│ 残りの辺の長さをｙ、ｚとして、 │
│ │
│ ｘ^2＝ｙ^2＋ｚ^2−２ｙｚ cosθ │
└───────────────────────────┘
この覚え方の利点は、式の覚え方を利用して、問題文や図からすぐに式が作れ
るところです。つまり、いったん式を書いて当てはめる数値などを考えるので
はなく、直接式を立てていくのです。そうすると、考えるステップが一つ省略
できますので、その分頭を効率良く使うことができます。
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