第0027号 等比数列の和の公式
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0027号 (2006/05/15) ┃
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そろそろ中間試験の季節ですね。（イヤな季節だ…苦笑）
──Contents─────────────────────────────
１．等比数列の和の公式
２．文字式を見るときの気持ち（その３）
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１．等比数列の和の公式
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等差数列の和の公式は第23号で導きました。今回はそれと双璧をなす（ちょ
い大げさ？）等比数列の和の公式を導いてみます。
私が初めてこの公式の証明を授業で習ったときには、何だかしっくりこなく
て、イマイチ掴めませんでした。もう一度自分で説明を辿りながら、何をやろ
うとしているのかを、分からないながらも考えながら計算していって、その仕
掛けに気づいたときには、背中がゾクゾクッとするような感動を覚えました。
いつもは、具体的な数を使って考えますが、今回は最初から文字を使って考
えていくことにします。
初項a、項比rの等比数列の和をSとします。まず、この等比数列を初項から
順に第n項まで書いていきます。
等比数列の一般項についてはメルマガ第26号を参照
a, ar, ar^2, ar^3, …, ar^(n-1)
この各項を足したものがSですから、
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^(n-1) …（イ）
となります。この和を求めることが難しいのは、実は「…」の部分にワケがあ
るのです。たとえば、初項から第5項までの和を求める、というのであれば、
「…」などと書かずに、すべて書くことができます。すべて書くことができる
ということは、大変であるかはともかくとして、頭からすべて足すことが可能
だということです。
ところが、初項から第n項までの和というのは、頭からすべて足すことが不
可能なんです。つまり、途中を「…」と省略せざるを得ないんですね。省略し
たくてしているのではなく、それ以外には書きようがないのです。ここが本質
的にネックとなる部分です。
頭から順番に足していくことができない。ということは、途中が「…」で書
かれていても関係なくなるような、計算の方法が必要になるわけです。等差数
列の和の公式では、「同じ数が並ぶ」ということから「その個数を掛ける」こ
とで和を求めました。
メルマガ第23号を参照
さて、等比数列ではどういうアイディアでいくといいでしょうか？等差数列
と同じように、初項から末項までの順番を逆にして足したり引いたりしても、
残念ながらうまくいきません。（できれば、うまくいかないことを実際にやっ
てみて確かめてください）そこで今回は、（イ）の両辺にrを掛ける、という
ことをやってみます。これが実にうまいアイディアで、他の似たような問題に
も使えます。
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^(n-1) …（イ）
rS = r{ a + ar + ar^2 + ar^3 + … + ar^(n-1)}
= ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^n …（ロ）
さあ、ここで注目は、
（ロ）の式の初項 ＝（イ）の式の第2項
（ロ）の式の第2項＝（イ）の式の第3項
（ロ）の式の第3項＝（イ）の式の第4項
：
：
となっていることです！つまり、（ロ）の式を1項分横にずらして書いてやる
と、
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1) …（イ）
rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1) + ar^n …（ロ）
という具合に、縦に同じものが並びます。ここで、すごい事を思いつきました!
縦に同じものが並んでいるということは、（イ）の式から（ロ）の式を引くと
その部分が、全部0になる！ということです。
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1) …（イ）
−）rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1) + ar^n …（ロ）
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S-rS = a + 0 + 0 + 0 + 0 + … + 0 - ar^n
(1-r)S = a( 1 - r^n)
ここで、r≠1 であるとき、両辺を 1-r で割ると、
a( 1 - r^n )
S = ────── …（ハ）
1 - r
という、等比数列の和の公式の出来上がりです。
さて、上で「r≠1 であるとき」と書きましたが、なぜこの条件が必要かと
いう点に疑問を持つ人もいるかとおもいます。r=1 のときには 1-r が0になっ
てしまうので、0では割ったらマズイということなのですが、そもそも r=1 す
なわち公比が1という数列は、初項をaとすると、
a, a, a, a, a, …
という具合に、aがずっと並ぶことになります。この初項から第n項までの和は
どうなるかと考えると、aをn個足すわけですから、anとすぐに分かります。だ
から、r=1 のときには、こんなしちめんどくさい公式など要らないのだ、と考
えた方が、気分的にはラクですね（笑）いずれにしても（ハ）の公式は、r=1
のときには使えない、ということを頭の片隅に置いておいてください。
もう１つおまけですが、上の証明では、（イ）−（ロ）を計算しましたが、
これを逆にするとどうなるでしょうか？つまり、（ロ）−（イ）です。引き算
の順番が逆になっているだけですから、（ハ）の式でも引き算の順番を逆にす
ればＯＫです。
a( r^n - 1 )
S = ────── …（ニ）
r - 1
これも、自分で実際に順番を逆にして引き算をして、確認してみてください。
この（ハ）と（ニ）を合わせて、教科書などでは、等比数列の和の公式を次
のように書くことが多いのです。
a( 1 - r^n ) a( r^n - 1 )
S = ────── = ──────
1 - r r - 1
よくある質問としては、
どちらを使えばいいのですか？
どっちでもいいんですか？
というものがありますが、どちらを使っても結果は同じになります。ですから、
どちらか片方を覚えておいて、常にそれを使うのもよし、気分によって変える
もよしです（笑）もし、何らかの選択の基準が欲しい、ということであれば、
公比rが1より小さいときには、分母が 1-r の式を、1より大きいときには、分
母が r-1 の方の式を使うようにするといいと思います。これは分母がマイナ
スになると面倒だから、そうならないように、というだけの話です。いずれに
してもどちらを使っても結果は同じですから、あまり神経質になる必要はあり
ません。
等比数列の和を求めるときに使ったアイデアは、先にも書きましたように、
他の似たような問題にも有効です。したがって、これも公式だけを丸暗記する
のではなく、この公式を導く仕掛けを堪能してもらい、自分でいつでも導ける
さ！という安心感と自信、「確実に覚えた公式」、そして他の問題へも応用で
きる力を手に入れて欲しいと思います。
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２．文字式を見るときの気持ち（その３）
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「2次方程式 x^2+x-6=0 を解きなさい」という問題があるとします。もちろ
ん普通に考えて、左辺を因数分解して解いていくということで何ら問題はない
のですが、ちょっと違った見方をしてみます。
「xについての方程式の解」とは、xに代入して等式が成り立つような値を指
します。ということは、どれが成り立つかな、と適当に数を代入してみて、う
まい具合に等式を満たす値が見つけられれば、それでも一応は解いたことにな
ります。通常はこのような解き方は、ロスが非常に多いのと、確実性に欠ける
ことから推奨はされません。
ですが、敢えてそれをやってみようと思います。
x=0 を代入
左辺=0^2+0-6=-6
-6≠0 なのでダメ
x=1 を代入
左辺=1^2+1-6=-4
-4≠0 なのでダメ
もうこの辺りで、イヤになってきますよね（笑）2次方程式の解き方が分かっ
ていると尚更です。さて、ここで確認していただきたいのは、この作業は左辺
のxに数を代入し、求められた左辺の値が0と等しいかどうかを調べている、と
いうことです。
左辺の値はxに代入する値によって変化しますよね？ということは、左辺だ
けを取り出してその値の変化を考えるということは、この左辺をxの「関数」
として見ているということに他なりません。
ところが、数を代入した計算だけでは、この左辺の値の変化は分かりづらい
です。そこでグラフを使って視覚的に捉える、ということをやるわけですが、
問題は、その前に左辺を「関数」として見る、ということがなかなかできない
ということにあります。この場合であれば、左辺が2次式ですから、左辺を「2
次関数」として見てやるということになります。
x^2+x-6=0 という方程式を解くということと、2次関数 y=x^2+x-6 のyの値
が0になるときのxの値を求めるということが同じであるという気持ちを持てる
ようになると、方程式や不等式に対する見方・考え方が広がってくるのです。
それに加えて、グラフという視覚的に捉えることができる強い味方が現れると、
さらに理解が深まっていくと言えます。ですが、この式を見るときの気持ち、
あるいは「式の見方」というのは、なかなか伝えづらく、感覚として掴みにく
いところでもあります。
また、初めて習う人にとっては、なぜそのようなことを考えなければならな
いのか？という疑問も残るでしょう。実際、2次方程式ではそれほど必要性は
感じられません。私自身も、最初に習ったときには、なんでこんな面倒くさい
ことをやっているんだろう？と疑問に思いました。ただ、2次不等式や3次方程
式の応用、三角関数を含む方程式など複雑なものを考えるときに、やはりこの
見方ができると、理解が深まります。特に2次不等式については、現在の数学I
での扱い方では、2次式を2次関数として見るという見方ができていないと、理
解がかなり難しくなります。
ケース・バイ・ケースで、文字を「ある特定の値を隠したもの」と見るか、
「いろいろな値を取り得る変数」と見るかを、自分の意思で選択し、その見方
に沿って問題に取り組めるようになって欲しいと思っています。
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