第0023号 等差数列の和の公式
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0023号 (2006/04/24) ┃
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前号で、「sin3α、cos3αの両方を導いてみます」と書いておきながら、片
方しか導きませんでしたね。失礼しましたm(_ _)m 自分で導くことをやって
もらおうと、途中で方針変更をしたせいなのですが、文章を直すのを忘れてし
まいました（苦笑）
──Contents─────────────────────────────
１．等差数列の和の公式
２．Σの公式の使い方
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１．等差数列の和の公式
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Σの公式を導くときに、等差数列の和の公式を使いましたが、その説明をし
ていなかったので、ここいらでやってみようかと思います。
そもそも、等差数列とは何ぞや？というと、隣との「差」が一定（等しい）
である数列のことです。たとえば、
(1) １, ２ , ３ , ４ , ５ , ６ , …
│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑
└─┘└─┘└─┘└─┘└─┘
+1 +1 +1 +1 +1
(2) ３, ５ , ７ , ９ , 11 , 13 , …
│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑
└─┘└─┘└─┘└─┘└─┘
+2 +2 +2 +2 +2
(3) ８, ５ , ２ , -1 , -4 , -7 , …
│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑
└─┘└─┘└─┘└─┘└─┘
-3 -3 -3 -3 -3
というような数列です。(1)は普通に1,2,3,…と1から順に数が並んでいるので、
かえって等差数列とは気付きにくいかと思います。でも、隣との差が1で一定
なので、れっきとした等差数列です。なお「隣との差＝右側の項−左側の項」
です。たとえば、4番目の項と3番目の項の差は、「4番目の項−3番目の項」で
求められます。
(2)の数列について初項から第6項までの和を求めてみます。すなわち
３ + ５ + ７ + ９ + 11 + 13
がいくつになるか、です。これを、頭から順番に足すのではなく、項の数が増
えても大丈夫な方法を考えます。まず、この和をＳと置きます。
Ｓ＝３ + ５ + ７ + ９ + 11 + 13 …（イ）
ここで、どうしてそんなことを考えるの？というようなツッコミは無しにして
もらって（笑）、足し算の順番を逆にしたものを考えます。もちろん、順番を
逆にしただけですから、その和はＳのままです。
Ｓ＝13 + 11 + ９ + ７ + ５ + ３ …（ロ）
さらに、突飛なことを考え、この（イ）と（ロ）の両辺を足します。で、もと
もと足し算でつながっている式を足すわけですから、どこから計算してもＯＫ
ですよね？ということで、縦に並んでいるもの同士を先に足し合わせます。そ
うすると…
Ｓ＝３ + ５ + ７ + ９ + 11 + 13
＋）Ｓ＝13 + 11 + ９ + ７ + ５ + ３
─────────────────
２Ｓ＝16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16
あら不思議（笑）、同じ数が並んでいます。16を6個足しているわけですから、
その和は掛け算で求められます。
２Ｓ＝16×6
16×6
∴Ｓ＝───＝48
2 ~~
という感じで、簡単に等差数列の和が求められました。
さて、ここからが問題なのですが、簡単に計算できたのは、同じ数16の足し
算になったために「掛け算が使えた」からです。なぜ同じ数がうまい具合に並
んだのでしょうか？そして、これはどんな等差数列の場合にでも成り立つので
しょうか？
もう一度(2)の数列の最初の6項とそれを逆に並べたものを書いてみます。
３, ５ , ７ , ９ , 11 , 13 （最初の向き）
│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑
└─┘└─┘└─┘└─┘└─┘
+2 +2 +2 +2 +2
13, 11 , ９ , ７ , ５ , ３ （逆向き）
│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑│ ↑
└─┘└─┘└─┘└─┘└─┘
-2 -2 -2 -2 -2 ←逆向きにしたから2ずつ減っていく
そうです！最初の数列では右に行くにしたがって2ずつ増えますが、逆向き
にした数列では右に行くにしたがって2ずつ減るのです。片方が2増えて、もう
一方が2減るわけですから、合計は変わらないのです！うまいですよね〜（^^）
したがって、等差数列である限り、これと同じコトが起きるわけですから、等
差数列の和を求めるときには、いつでもこの方式が使えるということです。
大数学者ガウスが子供の頃、先生がサボるために1から100まで足しなさいと
いう問題を出したところ、この方法であっという間に答えを出してしまい、先
生を驚かせたという有名な話があります。この逸話を「本当かどうか疑わしい」
と見る人もいますが、いずれにしても、等差数列の特徴をうまく利用している
例として覚えておいて損はないと思います。
と、いうことで、等差数列に関しては、その和を求めるのには次のように考
えればいいことが分かります。
Ｓ＝初項 + … + 末項 （最初に与えられた数列の和）
＋）Ｓ＝末項 + … + 初項 （順番を逆にした数列の和）
────────────
２Ｓ＝（初+末）+ … +（初+末）
└────┬─────┘
項の数だけ足す
（初+末）×項数
Ｓ＝────────
2
以上を踏まえた上で、文字を用いて等差数列の和の公式を導いてみましょう。
一定である隣との差は「公差」といい、通常dで表します。初項をa、末項をb、
項数をnとします。普通末項はLの小文字lを使うのですが（恐らくlastの頭文字）
数字の1（いち）と区別がつきにくいので、ここではbを使うことにします。
等差数列は、次のように表せます。
a , a+d , a+2d , a+3d , a+4d , … , b
これを逆向きにすると、今度はdずつ減るので、
b , b-d , b-2d , b-3d , b-4d , … , a
となります。これらの和をＳと置いて、足します。
S = a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) + (a+4d) + … + b
＋）S = b + (b-d) + (b-2d) + (b-3d) + (b-4d) + … + a
─────────────────────────────
2S =(a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b) + … + (a+b)
└───────────┬─────────────┘
項数n
n(a+b)
S = ─── …（ハ）
2
これで、等差数列の和の公式が導けました。等差数列の和の公式に関しては、
言葉で覚えるように、生徒には言っています。すなわち、
「等差数列の和は、最初と終わりを足して項の数を掛けて半分にする」
といった感じです。あえて式で書くならば、初項a、公差dの等差数列の第n項
が a+(n-1)d であることより、初項から第n項までの和は
初項 末項
↓ ↓
n{a + a+(n-1)d}
S = ────────
2
n{2a+(n-1)d}
= ──────
2
となります。ただ、私はこの公式を覚えるように言ったことは一度もありませ
ん。だって、見るからに美しくないですから！（笑）覚えにくいですしね…。
上の（ハ）の式を覚えておけば、あとは一般項の式を代入するだけですから、
その方がよほど実用的です。
とある教科書では、「したがって次のことが成り立つ」と書いて、この式を
枠で囲んでいます。「覚えなさい」とか「覚えた方がいいですよ」とは書いて
ないんですよね。もちろん「覚えにくい」とか「一応こう書けるけど使いにく
いんですよね」などとも書いてはいません（笑）あくまでも、「結果」として
こうなりました、とだけ書いてあるのです。
枠で囲んであるために、学習者は当然重要なことなんだろうと考え、覚えよ
うとすると思います。しかし、この公式は、確かに使えば便利だろうけど、覚
えにくい、使いにくい、美しくないと三拍子揃った（笑）代物なのです。つま
り、これに関しては覚える必要はないのです。私は生徒に「覚えるな」とまで
言っています。これは純真な高校生を惑わす悪い公式だ、と（笑）
繰り返しますが、（ハ）の式を導いた過程を理解し、（ハ）をしっかりと覚
えることが大切なのです。
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２．Σの公式の使い方
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Σの公式の使い方だなんて、変な感じを受けるかもしれませんが、これが分
かっていないために、応用がきかないということもあるのです。今回は、Σk
の公式を例にとって説明します。他の場合でも同じですから、同様に考えるよ
うにしてください。
まずΣkの公式を書きます。
n 1
Σk = ──n(n+1)
k=1 2
曲者は「n」です。この「n」が「n-1」になったり、時には「2n」になった
りしたときに、きちんと対処できるかどうかで、理解しているかどうかが分か
ります。
きちんと理解するためには、教科書ではほとんど練習しない、次のような公
式の使い方の理解とその練習が必要になります。これさえやっておけば、面倒
くささは残っても、分からないということはなくなります。
さて、その使い方とは、
┌─────┬──┐
○ 1 ↓ ↓
Σk = ──×○×（○+1) …（ニ）
k=1 2
Σの上に乗っている数または式をnがあったところに代入する、というだけで
す。当たり前のように思いますよね？でも、これが意外と意識されていないの
です。それを意識するために、次の例題を見てください。
【例題１】
10
Σk を計算しなさい。
k=1
【解答】
（ニ）の式の○のトコロに10を当てはめて計算します。
┌─────┬──┐
10 1 ↓ ↓
Σk = ──×10×（10+1）
k=1 2
= 55
~~
これができれば、次のような計算も同じようにできるはずです。
【例題２】
n-1
Σk を計算しなさい。
k=1
【解答】
例題１と同様に（ニ）の○のトコロにn-1を当てはめて計算します。
┌─────┬──┐
n-1 1 ↓ ↓
Σk = ── (n-1) (n-1+1)
k=1 2 ~~~ ~~~
1
= ── (n-1)×n
2
1
= ── n(n-1)
2
【例題３】
2n
Σk を計算しなさい。
k=1
【解答】
これも同様です。（ニ）のトコロに2nを当てはめます。
┌─────┬─┐
2n 1 ↓ ↓
Σk = ──×2n (2n+1)
k=1 2 ~~ ~~
= n(2n+1)
例題１〜３のいずれも、公式の○（本当はn）のトコロに、Σの上に乗って
いる数または式を当てはめて計算しています。公式ではnだったトコロに、n-1
や2nが書かれているので、あれれ？という感じで分からなくなってしまうので
す。Σの上が数値のときと同じようにやるんだ、ということさえ理解していれ
ば、それほど難しくはないのです。
しかし、数値を代入して計算する問題を練習しないと、単に公式と同じ式を
使って計算するだけになってしまいますので、例題２や例題３のような問題に
なったときに、計算がきちんとできなくなってしまうのです。ですから、Σの
計算ができるようになるための第一歩は、数値での計算練習をすることなので
す。教科書・問題集もこのあたりの計算練習をじっくりとやるようにしてほし
いものです（T_T）
次号では、問題を載せますので、計算練習をやってみてください。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
私自身、高校生の時にはΣの公式の使い方がよく分かっていませんでした。
大学でΣの上がnやn-1ではない場合も出てきて混乱し、あれこれ考えて今回の
当たり前とも言える結論に到達しました。分かる人にとっては、当たり前のこ
となのでしょうが、今までの経験から、多くの高校生が同じような迷路に迷い
込んでいるように思います。出口は意外と簡単なところにあるのです。気がつ
けば大したことはないので、一刻も早く迷路から抜け出して欲しいと思います。
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