第0058号 対数の方程式（その５）
☆━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0058号 (2007/02/28) ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━☆
高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、問題の解き方、考
え方についてちょっとしたヒントを毎週お届けします。
今週は１・２年生の期末試験が行われています。その試験問題を作らなけれ
ばならなかったため、先週はメルマガをお休みしてしまいました。私が担当し
ている科目の試験は昨日終わりましたので、あとは採点と成績評価のみです。
昨日は囲碁学校に行ってきました。囲碁学校は「講義＋実戦対局」というメ
ニューになっています。昨日の対局は、永遠のライバルとお互いに認め合って
いるＴさんとでした。私の方が終始勝勢だったのですが、今までもやってしま
っていた同じ失敗を繰り返してしまったのです…。
続きは編集後記で。
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
対数の底a ⇒ log_a x
──Contents─────────────────────────────
１．対数の方程式（その５）
２．次号までの宿題
３．宿題の解説
───────────────────────────────────
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
１．対数の方程式（その５）
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
対数の方程式の解法を何回かに分けて解説してきましたが、いかがでしょう
か？今回は、基本の問題の解き方の最後の仕上げとして、真数条件のチェック
を最初に行って解く、という教科書や問題集に載っている解き方でやってみた
いと思います。
また、底の変換公式も組み合わせて解くような問題もありますので、それも
扱ってみたいと思います。
【例題】次の方程式を解いてください。
(1) log_3 (x - 1) + 2 = log_3 (4x + 1)
(2) log_9 (x + 5) = log_3 (x - 1)
(1)は、方程式そのものは今までやってきたものと大きく変わりません。真
数条件を最初にチェックして解いていくことが今回のメインです。(2)は底が
異なった対数の方程式ですから……はい、その通りです。底を揃えるために、
底の変換公式を使うわけです。以上の点に留意しながら、以下の解説を読んで
ください。
(1) log_3 (x - 1) + 2 = log_3 (4x + 1)
真数は正でなければならないので、xは
x - 1 ＞ 0 …（イ）
4x + 1 ＞ 0 …（ロ）
という不等式をどちらも満たさなければなりません。そこで、上の不等式
を解きます。（イ）より
x - 1 ＞ 0
∴ x ＞ 1 …（ハ）
を得ます。（ロ）より
4x + 1 ＞ 0
4x ＞ -1
1
∴ x ＞ - ── …（ニ）
4
を得ます。xは上でも書きましたように（ハ）と（ニ）の両方を満たさな
ければなりませんので、その共通の範囲は
x ＞ 1 …（ホ）
となります。このあと得られたxの値が（ホ）を満たしていればＯＫで、
満たしていなければ不適となります。では、いよいよ方程式を解きます。
左辺、右辺ともに対数の底は3で同じですから、あとは
log_3 ○ = log_3 △
の形に変形すればいいんでしたね。
log_3 (x - 1) + 2 = log_3 (4x + 1)
log_3 (x - 1) + 2log_3 3 = log_3 (4x + 1)
log_3 (x - 1) + log_3 3^2 = log_3 (4x + 1)
log_3 (x - 1) + log_3 9 = log_3 (4x + 1)
log_3 9(x - 1) = log_3 (4x + 1) ┐ log_3 ○ = log_3 △
│ ↓ ↓
9(x - 1) = 4x + 1 ←──────┘ ○ = △
9x - 9 = 4x + 1
9x - 4x = 1 + 9
5x = 10
x = 2 …（ヘ）
xの値が求まりましたので、真数条件に適しているかどうかの判定を行い
ます。（ヘ）よりxの値は2です。これは（ホ）の「x＞1」という条件を満
たしていますのでＯＫです！したがって、求める方程式の解は
x = 2
~~~~~~~
となります。
(2) log_9 (x + 5) = log_3 (x - 1)
真数は正でなければならないので、xは
x + 5 ＞ 0 …（ト）
x - 1 ＞ 0 …（チ）
という不等式をどちらも満たさなければなりません。そこで、上の不等式
を解きます。（ト）より
x + 5 ＞ 0
∴ x ＞ -5 …（リ）
を得ます。（チ）より
x - 1 ＞ 0
x ＞ 1 …（ヌ）
を得ます。（リ）と（ヌ）の共通の範囲は
x ＞ 1 …（ル）
となります。次に方程式を解くわけですが、対数の底を見ると9と3で異な
っています。そこでそれを底の変換公式を用いて統一します。
9=3^2
ですから、3がベースになっているということで、底を3に揃えます。
log_9 (x + 5) = log_3 (x - 1)
log_3 (x + 5)
─────── = log_3 (x - 1)
log_3 9
log_3 (x + 5)
─────── = log_3 (x - 1)
log_3 3^2
log_3 (x + 5)
─────── = log_3 (x - 1)
2
log_3 (x + 5) = 2log_3 (x - 1)
log_3 (x + 5) = log_3 (x - 1)^2
x + 5 = (x - 1)^2
x + 5 = x^2 - 2x + 1 ─┐
│左辺と右辺を入れ替えました
x^2 - 2x + 1 = x + 5 ←┘
x^2 - 3x - 4 = 0
(x + 1)(x - 4) = 0
x = -1 , 4 …（ヲ）
（ヲ）のxの値のうち真数条件（ル）を満たしているのは x=4 です。した
がって求める方程式の解は
x = 4
~~~~~~~
となります。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
２．次号までの宿題
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
基本は一通り完了しましたので、入試問題にチャレンジしてみたいと思いま
す。（問題文は適宜変更してあります）
【練習問題】次の方程式を解いてください。
(1) log_3 x = 4 （'06 東北工業大）
(2) log_10 x + log_10 5 = 2 （'05 湘南工科大）
(3) log_2 x = log_4 (2x + 3) ('06 千葉工業大）
(4) log_4 (x + 1) + log_(1/2) x = 1 （'05 芝浦工業大）
(4)の問題が一番大変だと思います。２つめのlogの底が分かりづらいのです
が、底が1/2で真数がxです。がんばってチャレンジしてみてください。
解答は次号で。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
３．宿題の解答
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
【練習問題】次の方程式を解いてください。
(1) log_3 (x^2 - x - 1) = 0
(2) log_2 (x - 2) + 2 = log_2 (3x + 1)
(3) log_3 (2x-1) + 1 = log_3 (5x - 9)
〔解答〕
(1) log_3 (x^2 - x - 1) = 0
log_3 (x^2 - x - 1) = log_3 1
x^2 - x - 1 = 1
x^2 - x - 2 = 0
(x + 1)(x - 2) = 0
x = -1 , 2 …（ワ）
与えられた方程式の真数 x^2 - x - 1 に（ワ）をそれぞれ代入すると、
x=-1 のとき
(-1)^2 - (-1) - 1 = 1
x=2 のとき
2^2 - 2 - 1 = 1
となるので、どちらも適します。したがって求める解は
x = -1 , 2
~~~~~~~~~~~~
です。
(2) log_2 (x - 2) + 2 = log_2 (3x + 1)
log_2 (x - 2) + 2log_2 2 = log_2 (3x + 1)
log_2 (x - 2) + log_2 2^2 = log_2 (3x + 1)
log_2 (x - 2) + log_2 4 = log_2 (3x + 1)
log_2 4(x - 2) = log_2 (3x + 1)
4(x - 2) = 3x + 1
4x - 8 = 3x + 1
x = 9 …（カ）
与えられた方程式の真数は x - 2 , 3x + 1 ですから、（カ）をそれぞれ
代入すると、
x=9 のとき
9 - 2 = 7 , 3 × 9 + 1 = 28
となるので、真数条件を満たします。したがって、求める解は、
x = 9
~~~~~~~
です。
(3) log_3 (2x-1) + 1 = log_3 (5x - 9)
log_3 (2x-1) + log_3 3 = log_3 (5x - 9)
log_3 3(2x - 1) = log_3 (5x - 9)
3(2x - 1) = 5x - 9
6x - 3 = 5x - 9
6x - 5x = -9 + 3
x = -6 …（ヨ）
与えられた方程式の真数は 2x - 1 , 5x - 9 ですから、（ヨ）をそれぞ
れに代入すると、
2 × (-6) - 1 = -13 , 5 × (-6) - 9 = -39
となるので、これは真数条件を満たしません。
∴解なし
~~~~~~~
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
Ｔさんと私は棋力も近いのですが（最近私がサボっていたために多少遅れを
取っています…）、それ以上に長考同士なのです（笑）囲碁学校は時間が決ま
っていますので、時間が掛かるようだと対局時計を使うことになります。勝負
が長引きそうだと、途中から対局時計が投入されるわけです。私とＴさんの対
局では、もちろん最初から対局時計が用意されました。「時間切れは形勢に関
わらず負け」なので、気をつけねば！と思っていたのですが、やってしまいま
した。。。そう、時間切れで負けてしまったのです。
何も考えずに打つことは上達の妨げですが、あまり考え込みすぎても良いこ
とはありません。これは勉強についても言えることです。あれこれ考えるより
も問題を１つでも多く解いて、練習する方が効果があるということは多いもの
です。今回の失敗を次回に活かしていきたいと思います。またやってしまいそ
うですけどね（苦笑）
─…───…───…───…───…───…───…───…───…─
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
現役高校数学教師が送る「数学マスターへの道」（週2回発行）
発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/
配信中止はこちらから→ http://www.mag2.com/m/0000184672.html
ご意見・ご感想などはこちらへお願いします。
→ E-Mail math_master@hotmail.co.jp
→ BLOG http://sora.mathemaster.com/
バックナンバーはこちら
→ http://mathemaster.com/magback_index.htm
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
このメルマガに掲載された記事の無断転載・引用を禁じます。
|
|