第0056号 対数の方程式（その３）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0056号 (2007/02/14) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、問題の解き方、考
え方についてちょっとしたヒントを毎週お届けします。
最近メタボリック症候群という言葉をよく聞きますが、私の身体の中には、
どうやら内臓脂肪さんがいるようで（苦笑）、ちょっとマズイな、と思ってい
る次第です。内臓脂肪を減らすためには、生活習慣を改善しなければならない
のです。簡単に言えば、運動をし、食事に気をつけるということです。急にス
ゴイことをやろうと思っても長続きしないのは目に見えていますので、できる
ことから始めようと思いました。
続きは編集後記で。
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
対数の底a ⇒ log_a x
──Contents─────────────────────────────
１．対数の方程式（その３）
２．次号までの宿題
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１．対数の方程式（その３）
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今号までに対数の公式を覚えておいてくださいという宿題を出しましたが、
いかがでしょうか？初めて読む方は前号のバックナンバーをご覧ください。
⇒ http://mathemaster.com/magback0055.htm#55hw
それでは、覚えておいた公式７つを書いてみてください。どういう順番でも構
いませんから、７つ全部書ければＯＫです。ちゃんと書けているかどうかも、
上のリンクから前号のバックナンバーで確認してください。
では、公式が頭に入っていることを前提として、さっそく例題の解説に入り
ましょう。
【例題】次の方程式を解いてください。
(1) log_3 x(x - 2) = 1
(2) log_3 x + log_3 (x - 2) = 1
前号で説明した真数条件がどのように影響するのかも含めて説明したいと思
います。この後の説明を見ると分かりますが、(1)と(2)は途中から同じ計算に
なります。しかし、最後で真数についてのチェックをするところで違いが出て
きますので、そのあたりを注意して読むようにしてください。
(1)は左辺が単独のlogで、右辺が対数でない定数ですから、解き方１、解き
方２のどちらでも解けます。(2)は左辺が２つのlogの足し算になっていますの
で、底が揃っていることを確認した上で、公式を使ってlogの合体を行い、そ
の後は(1)と同じ計算をしていきます。では、実際に計算をしてみましょう。
(1) log_3 x(x - 2) = 1 ───┐
│ 1をlog_3 3に
log_3 x(x - 2) = log_3 3 ←┘
│真数を取り出して方程式を作る
x(x - 2) = 3 ←─────┘
│左辺を展開し、右辺の3を移項
x^2 - 2x - 3 = 0 ←───┘
│左辺を因数分解
(x + 1)(x - 3) = 0 ←───┘
x = -1 , 3 …（イ）
求められたxの値が真数条件を満たしているかチェックします。
最初に与えられた方程式のlogの真数は、
x(x - 2) …（ロ）
です。（イ）の x=-1 を（ロ）に代入すると、
(-1) × (-1 - 2) = 3
となり、これは正の値ですからＯＫです。次に（イ）の x=3 を（ロ）に
代入すると、
3 × (3 - 2) = 3
となり、これも正の数ですからＯＫです。以上から、求める解は
x = -1 , 3
~~~~~~~~~~~~
となります。
(2) log_3 x + log_3 (x - 2) = 1 ─┐
│対数の公式で左辺を合体
log_3 x(x - 2) = 1 ←───┘（底が3で揃っていることを確認）
──┐
log_3 x(x - 2) = log_3 3 ↓この後は(1)と同じ計算
x(x - 2) = 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x + 1)(x - 3) = 0
x = -1 , 3 …（ハ）
ここで(1)と同様に真数条件のチェックを行いますが、ここで気をつけなけ
ればならないのが、(2)で最初に与えられた方程式では対数が２つあるので、
それぞれについて真数条件をチェックしなければならないということです。当
たり前のことのように感じるかもしれませんが、意外とここで間違えてしまう
人がいるので、注意してください。
最初に与えられた方程式のlogは、log_3 x と log_3 (x - 2) だから、そ
の真数は、
x …（ニ）, x - 2 …（ホ）
です。（ハ）の x=-1 を（ニ）、（ホ）に代入すると、
（ニ）-1 （ホ）-1 - 2 = -3
となり、真数が負の数になってしまいますから、これはダメです。次に
（ハ）の x=3 を（ニ）、（ホ）に代入すると、
（ニ）3 （ホ）3 - 2 = 1
となり、どちらも真数が正の数ですからＯＫです。以上から求める解は
x = 3
~~~~~~~
となります。
最初の方でも書きましたように、(1)と(2)は途中から同じ計算になりますが、
与えられた方程式のlogの形が異なるために、真数条件のチェックにより、最
終的な解が違ってくるのです。
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２．次号までの宿題
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【練習問題】次の方程式を解いてください。
(1) log_2 (x + 1)(x - 3) = 5
(2) log_2 (x + 1) + log_2 (x - 3) = 5
今号の例題と同様で、途中から計算が同じになります。しかし、最後の真数
条件のチェックで最終的な解が異なってきますので、そこを注意しながら取り
組んでみてください。
解答は次号で。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
たとえ小さなことでもできるコトから始める、これが大事です。できない大
きな目標より、できる小さな目標からスタートです！そこで、今日はノートに
次のことを書きました。
□ 間食をしない
□ １つ手前の駅で電車を降りて歩く
どちらも大したことではありませんが、いつもはやっていなかったことですか
ら、ちゃんとできたらノートの□にチェックを入れて、自分を褒めようと思い
ます。たとえ小さくても達成感を積み重ねることは、いずれ大きな自信につな
がるものですから！
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