第0048号 対数の計算（その２）
☆━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0048号 (2006/12/25) ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━☆
高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、問題の解き方、考
え方についてちょっとしたヒントを毎週お届けします。
メリークリスマス♪みなさんはサンタクロースに何をお願いしましたか！？
って、そんな歳ではありませんよね、、、多分（笑）うちにも中３と小６の子
どもが２人いますが、もうサンタクロースを信じる年齢ではなくなってしまい
ました。ちょっとさびしいのですが、「成長した」ということを喜ぶことにし
たいと思います。
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
対数の底a ⇒ log_a x
──Contents─────────────────────────────
１．対数の計算（その２）
２．前回の練習問題の解答
３．練習問題
───────────────────────────────────
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
１．対数の計算（その２）
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
対数の計算で使う公式はそれほど多くありません。そんなに複雑でもありま
せん。それをどのように使うのかは、理解すると同時に、練習によって身体で
覚えるようにしましょう。
今回も対数の基本公式を挙げておきます。前回同様、何も見ないですべて書
けるかどうか、自分で自分をテストしてみましょう！
（イ）log_a 1 = 0
（ロ）log_a a = 1
（ハ）log_a a^n = n
（ニ）log_a xy = log_a x + log_a y
x
（ホ）log_a ── = log_a x - log_a y
y
（ヘ）log_a x^r = r・log_a x
今回の計算は、ちょっと違ったパターンと、少し複雑なものにチャレンジし
てみたいと思います。
【例題】次の対数の計算をしてください。
1
(1) log_2 3 + log_2 ──
24
(2) log_3 12 - log_3 48 + 2log_3 6
前回同様に基本方針は、(A)合体させる (B)分解する のどちらかです。
【解答】
1
(1) log_2 3 + log_2 ──
24
☆方針(A)「合体」による計算
1
log_2 3 + log_2 ── ─┐
24 │
│公式（ニ）
1 │
= log_2 (3×──) ←┘
24
1
= log_2 ──
8
1
= log_2 ── ─┐
2^3 │※
│
= log_2 2^(-3) ←┘
│公式（ヘ）
= -3 ←┘
~~~
※の部分の変形は、
1
a^(-n) = ──
a^n
という公式を用いています。この公式を使わずに計算する方法もあります。こ
こで基本公式（ホ）により「分解」をして、基本公式（イ）を利用します。
1
log_2 ── ────┐
2^3 │※
│公式（ホ）
= log_2 1 - log_2 2^3 ←┘
~~~│~~ ~~~~~~│~~
│公式（イ） │公式（ハ）
↓ │
= 0 - 3 ←──┘
= -3
~~~
☆方針(B)「分解」による計算
最初から上記の方法により、分解していきます。
1
log_2 3 + log_2 ── ────┐
24 │公式（ホ）
│
= log_2 3 + log_2 1 - log_2 24 ←┘
~~~│~~
│公式（イ）
↓
= log_2 3 + 0 - log_2 (2^3×3)
= log_2 3 - (log_2 2^3 + log_2 3)
= log_2 3 - (3 + log_2 3)
= log_2 3 - 3 - log_2 3
= -3
~~~
(2) log_3 12 - log_3 48 + 2log_3 6
☆方針(A)「合体」による計算
３つのlogの項がある場合の「合体」はどうするか？というのが、この問題
のテーマなのですが、基本的な考え方である
- log ⇒「真数の割り算」
+ log ⇒「真数の掛け算」
を項が３つ以上の場合にも適用します。それも一度に使うことができます。こ
こでは証明は抜きにしますが、公式（ニ）と公式（ホ）を合わせて使うことが
可能なのです。もちろん、２つずつペアにして順番に「合体」させていっても
構いません。（というより、それが公式の基本の使い方なんですが…）その場
合でも、最初に「合体」したものを計算せずに、次の「合体」をすると同じ式
になります。それによって、この方法が正しそうだということも実感できると
思います。
とにかく、実際にやってみましょう。
log_3 12 - log_3 48 + 2log_3 6 ─┐
│公式（ヘ）
= log_3 12 - log_3 48 + log_3 6^2 ←┘
= log_3 12 - log_3 48 + log_3 36 ┐
│公式（ニ）と（ホ）の同時使用
= log_3 (12 ÷ 48 × 36) ←──┘
12 × 36
= log_3 ─────
48
= log_3 9
= log_3 3^2
= 2
~~~
☆方針(B)「分解」による計算
「分解」をしていく場合には、項がいくつあっても変わりません。今までも
「分解」して項が増えた状態で計算をしてきたのですから！（笑）式が長くな
るだけの話です（T_T）
log_3 12 - log_3 48 + 2log_3 6
= log_3 (2^2 × 3) - log_3 (2^4 × 3) + 2log_3 (2 × 3)
= log_3 2^2 + log_3 3 - (log_3 2^4 + log_3 3) + 2(log_3 2 + log_3 3)
= 2log_3 2 + 1 - (4log_3 2 + 1) + 2(log_3 2 + 1)
= 2log_3 2 + 1 - 4log_3 2 - 1 + 2log_3 2 + 2
= 2
~~~
「分解」はいったんバラバラにしますので、式が長くなり大変なのですが、
最後にキレイに消えていったりするので、私はけっこう好きです（笑）このや
り方は好きだなとか、これは何だかスマートじゃないな、といった「解き方を
鑑賞する気持ち」を持って勉強に取り組むと、数学の楽しさが一段と感じられ
ると思います。まだそこまでの余裕はないよ（涙）という人もいるでしょうが、
ちょっとした気持ちの持ち方でずいぶん変わるものですから、頭の片隅にでも
置いておいてください。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
２．前回の練習問題の解答
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
前回の問題はいかがでしたでしょうか？まだ、やっていないという方は、い
つでも構いませんから、取り組んでみてください。
【練習問題】次の対数の計算をしてください。
3
(1) log_3 15 + log_3 ──
5
〔解答１〕方針(A)「合体」
3
log_3 15 + log_3 ──
5
3
= log_3 (15 × ──)
5
= log_3 3^2
= 2
~~~
〔解答２〕方針(B)「分解」
3
log_3 15 + log_3 ──
5
= log_3 (3 × 5) + log_3 3 - log_3 5
= log_3 3 + log_3 5 + 1 - log_3 5
= 1 + 1
= 2
~~~
(2) log_2 48 - log_2 3
〔解答１〕方針(A)「合体」
log_2 48 - log_2 3
48
= log_2 ──
3
= log_2 16
= log_2 2^4
= 4
~~~
〔解答２〕方針(B)「分解」
log_2 48 - log_2 3
= log_2 (2^4 × 3) - log_2 3
= log_2 2^4 + log_2 3 - log_2 3
= 4
~~~
(3) log_3 24 - 3log_3 2
〔解答１〕方針(A)「合体」
log_3 24 - 3log_3 2
= log_3 24 - log_3 2^3
= log_3 24 - log_3 8
24
= log_3 ──
8
= log_3 3
= 1
~~~
〔解答２〕方針(B)「分解」
log_3 24 - 3log_3 2
= log_3 (2^3 × 3) - 2log_3 2
= log_3 2^3 + log_3 3 - 2log_3 2
= 3log_3 2 + 1 - 2log_3 2
= 1
~~~
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
３．練習問題
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
【練習問題】次の対数の計算をしてください。
2 5
(1) log_3 ── + log_3 ──
15 2
3
(2) 3log_2 6 - log_2 18 - log_2 ──
8
解答は次号で。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今回の練習問題は、次回までの宿題です。え〜〜、そんなのイヤだ！という
声が聞こえてきそうですが（笑）、ぜひ頑張って取り組んでみてください。こ
れから、こういった形で宿題を出していきたいと思います。堅苦しく考えずに、
お気楽に取り組んでいただけたら、と思います（^^）
─…───…───…───…───…───…───…───…───…─
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
現役高校数学教師が送る「数学マスターへの道」（週2回発行）
発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/
配信中止はこちらから→ http://www.mag2.com/m/0000184672.html
ご意見・ご感想などはこちらへお願いします。
→ E-Mail math_master@hotmail.co.jp
→ BLOG http://sora.mathemaster.com/
バックナンバーはこちら
→ http://mathemaster.com/magback_index.htm
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
|
|