第0039号 平方完成の完成！
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0039号 (2006/07/18) ┃
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期末試験の作成や採点、その他の仕事が重なってしまい、かなり間が空いて
しまいました。大変申し訳ありませんでしたm(_ _)m
再度発行日の変更をさせていただきたいと思います。詳しいことは編集後記
に書きました。今後は週2回の発行とさせていただきます。変更、変更でお恥
ずかしい限りですが、宜しくお願いいたします。
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．平方完成はこれで完成！
２．平方完成の練習問題（その３）
───────────────────────────────────
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１．平方完成はこれで完成！
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いよいよ平方完成もこれで完成です。x^2の係数が分数の場合の平方完成の
やり方について説明をします。いつものように後ろに練習問題をつけておきま
すので、仕上げとしてチャレンジしてみてください。
※前号からだいぶ間が空いてしまいましたので、これまでの内容を確認したい
という場合には、バックナンバーページをご覧ください。
⇒ http://mathemaster.com/magback_index.htm
【例題１】 1
──x^2 - 2x + 1 を平方完成してください。
3
基本的な考え方は今までと同じです。
一、x^2の係数でx^2とxの項をくくる
一、カッコの中で平方完成する
一、カッコをはずして、定数項の計算をしてできあがり
今までと同じなのですが、そうは思えないのは、x^2の係数が分数であるから
です。それをどう処理するかがポイントです。さらに言えば、カッコでくくっ
たときの、xの係数をいかにラクに求めるか、ということです。
まずは、x^2の係数でくくるわけですが、これは前にも書きましたように、
とにかくx^2とその係数の間にカッコ「（ 」を入れてやればいいのです。す
なわち、
1 1
──x^2 … → ──(x^2 …
3 3
というような感じです。
次に問題のxの項ですが、これも第0038号に書きましたように、くくった数
の逆数と元々のxの項を掛けたものをカッコの中に書いてやればいいのです。
そのまま
┌─────────┬───┐
1 │ 1 ↓ 3 ↓
──x^2 - 2x … → ──(x^2 - ──・2x …
3 3 1
│ ~~~~↑~~~~~
└─────┘
逆数
以上のことを踏まえて、平方完成をしてみます。
【解答】
1
──x^2 - 2x + 1
3
1 3
= ──(x^2 - ──・2x) + 1 …（＊）
3 1
1
= ──(x^2 - 6x) + 1
3
1
= ──{(x - 3)^2 - 9} + 1
3
1
= ──(x - 3)^2 - 3 + 1
3
1
= ──(x - 3)^2 - 2
3
~~~~~~~~~~~~~~~~~
慣れてきたら（＊）の部分は省略できると思いますが、無理して省略する必
要はありません。迷ったら、基本に戻って面倒くさがらずにきちんと書きまし
ょう。（わずかな手間を惜しんだために、混乱して分からなくなってしまう人
が結構います）
【例題２】 3
- ──x^2 + 5x - 3 を平方完成してください。
2
基本的な変形の仕方は同じですが、x^2の係数がマイナスなので、その処理
を間違えないように気をつけましょう。
【解答】
3
- ──x^2 + 5x - 3
2
3 2
= - ──{x^2 + (- ──)・5x} - 3
2 3
3 10
= - ──(x^2 - ──x) - 3
2 3
3 10
= - ──(x^2 - ──x) - 3
2 3
3 5 25
= - ──{(x - ──)^2 - ──} - 3
2 3 9
3 5 25
= - ──(x - ──)^2 + ── - 3
2 3 ↑ 6
└───符号注意！
3 5 7
= - ──(x - ──)^2 + ──
2 3 6
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
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２．平方完成の練習問題（その３）
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【練習問題】次の式を平方完成してください。
(1) 1
──x^2 + 2x + 3
2
(2) 2
──x^2 - x + 3
3
(3) 3 6
- ──x^2 + ──x - 1
4 7
(4) ax^2 + bx + c
最後に係数が文字の場合の平方完成にチャレンジしてみてほしいと思います。
これは2次方程式の解の公式を導く計算の一部でもあります。係数が文字の場
合でも同じアイディアでできます。分からなかったら、解答を見て、真似をし
てやりながら、「解読」を試みてください。
【解答】
(1) 1
──x^2 + 2x + 3
2
1 2
= ──(x^2 + ──・2x) + 3
2 1
1
= ──(x^2 + 4x) + 3
2
1
= ──{(x + 2)^2 - 4} + 3
2
1
= ──(x + 2)^2 - 2 + 3
2
1
= ──(x + 2)^2 + 1
2
~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) 2
──x^2 - x + 3
3
2 3
= ──(x^2 - ──x) + 3
3 2
2 3 9
= ──{(x - ──)^2 - ──} + 3
3 4 16
2 3 3
= ──(x - ──)^2 - ── + 3
3 4 8
2 3 21
= ──(x - ──)^2 + ──
3 4 8
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) 3 6
- ──x^2 + ──x - 1
4 7
3 4 6
= - ──(x^2 - ──・──x) - 1
4 3 7
3 8
= - ──(x^2 - ──x) - 1
4 7
3 4 16
= - ──{(x - ──)^2 - ──} - 1
4 7 49
3 4 12
= - ──(x - ──)^2 + ── - 1
4 7 49
3 4 37
= - ──(x - ──)^2 - ──
4 7 49
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(4) ax^2 + bx + c
b
= a(x^2 + ──x) + c
a
b b^2
= a{(x + ──)^2 - ──} + c
2a 4a^2
b b^2
= a(x + ──)^2 - ── + c
2a 4a
b b^2 4ac
= a(x + ──)^2 - ── + ──
2a 4a 4a
b b^2 4ac
= a(x + ──)^2 - (── - ──)
2a 4a 4a
b b^2-4ac
= a(x + ──)^2 - ─────
2a 4a
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、これで平方完成は完成です。最後に係数が文字の場合についても取り
上げました。繰り返しになりますが、基本的なアイディアは同じですので、色
々なパターンを繰り返し練習してみてください。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
中田英寿選手の引退特別番組を見ました。語られる言葉の一つ一つに重みが
感じられました。全編を通じて伝わってくる真剣さが胸を打つと同時に、自分
自身を振り返ってみたときに、多くのことを考えさせられました。
私は、プロとしての「誇り」を持って仕事をしているだろうか？教員は「人
間教育」および「教科教育」のプロフェッショナルであると常日頃から考えて
はいます。しかし、自分自身それができているだろうか？答えは「否」です。
自分に言い訳をしてしまうことが非常に多いのが、今の私です。
このメルマガにしても同じです。一度は毎週月・水・金に発行しようと決め、
一度決めたことだから何とか実行しようと思ってきましたが、現実にはできず
にいます。仕事の状況、原稿を書くために掛かる時間などを考え、発行日を再
度変更させていただきたいと思います。何度も変更して申し訳ありません。今
後は週2回を目標に発行していきたいと思います。
今後とも宜しくお願いいたします。
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