第0038号 平方完成の極意（その３）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0038号 (2006/06/26) ┃
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今週、来週と期末試験の準備やら、たまってしまった仕事やらで、メルマガ
の発行が不定期となりそうな予感がします（涙）またか！と思われる方もいる
かと思いますが、本業が第一ということで、お許し下さいm(_ _)m
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．平方完成の極意（その３）
２．練習問題
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１．平方完成の極意（その２）
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前回は、x^2の係数が1の場合の平方完成のやり方を説明しました。今回は、
x^2の係数が1ではない場合について、どうすればよいか説明します。
【例題１】3x^2 + 6x + 7 を平方完成してください。
ポイントは次の２つです。
一、x^2の係数が1であれば平方完成できる
一、まず問題となるのはxを含む項で、定数項はあと回し
x^2の係数を1にすればできると分かっていても、与えられた式を係数の3で割
ったりしたら、最初の式と等しくなくなってしまうので、イケマセン。（あと
から3倍して元に戻す、という裏技がありますが、3倍し忘れる危険性が高いの
で、オススメできません）
そこで、局所的であってもx^2の係数が1になればいいわけですから、x^2の
係数の3でくくってやることを考えます。つまり、
3x^2 + 6x + 7 = 3(x^2 + ……
という形にしてやれば、カッコの中ではx^2の係数が1になります。では、実際
にやってみましょう。
┌─────定数項はあと回しでいいので、
↓ この部分で考える
3x^2 + 6x + 7
~~~~~~~~~
= 3(x^2 + 2x) + 7
↑ ↑
ここは └────問題は、これをどうやって求めるか ⇒ （※）
いつでもx^2
= 3{(x + 1)^2 - 1^2} + 7
↑ ↑ ↑
│ x^2+2xを │
│ 平方完成 │
└───┬───┘
内側に( )^2を作るので、
外側のカッコを{ }にする
= 3{(x + 1)^2 - 1} + 7
│ ↑ ↑
└──┴──┘3を中に掛け入れる
= 3(x + 1)^2 - 3 + 7
= 3(x + 1)^2 + 4
~~~~~~~~~~~~~~
⇒（※）x^2の係数でくくるときに、カッコの中のxの項をどうやって求める
かで悩むケースがあります。この例題のようにすぐに分かる場合にはいいので
すが、例えば、
3x^2 + 5x - 2
というようなときにはどうしたらいいのでしょうか？
3x^2 + 5x - 2 …（イ）
3(x^2 + ？) - 2 …（ロ）
│↑ ↑
└┴──┘
（イ）の式と（ロ）の式が同じであるためには、（ロ）の式でカッコをはずし
て3を中に掛け入れたときに、元の式に戻らなくてはいけません。つまり、3を
？に掛けて 5x にならなければいけないのです。
ここで、次のように考えます。
3を掛けて元に戻る ＝ 3を掛けても元と変わらないようにする
つまり、
3 × △ × 5x = 5x …（ハ）
とするには、どうすればいいかを考えるのです。上の 3×△ を 5x に掛けて
も 5x のまま変わらなかったということは、3×△ は「1」ということになり
ます。1はいくら掛けても相手を変えませんよね？3×△=1 ですから、（ハ）
の式の△は、3の逆数ということになります。さらに（ロ）と（ハ）を比べる
と、
3 × ？ = 3 × △ × 5x
~~ ~~~~~~~~
ですから、（ロ）の？に相当するのは、△ × 5x となります。△は上で考え
たように、3の逆数ですから、結局
5x
？ = ──
3
ということになります。これは、3で割っていると見ることもできますが、x^2
の係数が常に整数とは限りませんので、x^2の係数の逆数をxの項に掛ける、と
考えた方がどんな場合にでも対応できるので、オススメです。もちろん、x^2
の係数が整数のときには、その係数で割る、と考えて差し支えありません。
【例題２】-4x^2 - 3x + 1 を平方完成してください。
-4x^2 - 3x + 1
┌───────────────┐
3x │-4でくくっているから、-4で割る│
= -4(x^2 - ──) + 1 ┌┤or -4の逆数を掛ける │
│ -4 ←───┘└───────────────┘
├─┘ ┌─────────┐
│←──┤マイナス÷マイナス│
│ │でプラス │
↓ 3x └─────────┘
= -4(x^2 + ──) + 1
│ 4 │
│ └─────┐外側のカッコを{ }にする
↓ 3 9 ↓
= -4{ (x + ──)^2 - ── } + 1 ┐
8 64 │ -4を{ }の中に掛け入れる
│ +1はまだそのまま
3 9 │ （+1に-4を掛けないように注意！）
= -4(x + ──)^2 + ── + 1 ←┘
8 16
~~~~~~~~~~┐
3 25 │最後にこの定数部分を計算して出来上がり
= -4(x + ──)^2 + ── ←┘
8 16
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
さて、いかがでしたでしょうか？平方完成は、係数の具合によって、かなり
メンドクサイ場合も出てきます。ですが、基本となる考え方をしっかりと理解
して、その上できちんと練習すれば、やっていることはワンパターンですから、
スラスラとできるようになると思います。と言うより、スラスラとできるよう
になるまで、練習してください。特に大学受験に数学が必要な人は、ここは時
間をかけずに、サッとできるようになってください。
繰り返しますが、実は、やっていることはワンパターンでしかないのです。
符号や逆数や気をつけなければならないことは多いですが、基本的な考え方は
１つです。x^2の係数が1以外の場合についての平方完成について、「なぁんだ
いつも同じじゃん！」と思えたら、免許皆伝です（笑）練習問題を下に載せて
おきますので、繰り返し練習してみてください。
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２．平方完成の練習問題（その２）
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【練習問題】次の式を平方完成してください。
(1) 2x^2 + 8x + 5
(2) -x^2 + 4x - 3
(3) 3x^2 - 3x + 1
(4) -2x^2 + 7x - 3
前回の計算に比べて、だいぶ難しくなってきました。ただ、上でも述べまし
たように、基本的な考え方は１つなので、頑張って練習するようにしてくださ
い！
【解答】
(1) 2x^2 + 8x + 5
= 2(x^2 + 4x) + 5
= 2{(x + 2)^2 - 4} + 5
= 2(x + 2)^2 - 8 + 5
= 2(x + 2)^2 - 3
~~~~~~~~~~~~~~
(2) -x^2 + 4x - 3
= -(x^2 - 4x) - 3
= -{(x - 2)^2 - 4} - 3
= -(x - 2)^2 + 4 - 3
= -(x - 2)^2 + 1
~~~~~~~~~~~~~~
(3) 3x^2 - 3x + 1
= 3(x^2 - x) + 1
1 1
= 3{(x - ──)^2 - ──} + 1
2 4
1 3
= 3(x - ──)^2 - ── + 1
2 4
1 1
= 3(x - ──)^2 + ──
2 4
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(4) -2x^2 + 7x - 3
7
= -2(x^2 - ──x) - 3
2
7 49
= -2{(x - ──)^2 - ──} - 3
4 16
7 49
= -2(x - ──)^2 + ── - 3
4 8
7 25
= -2(x - ──)^2 + ──
4 8
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
次回は、係数が分数の場合の練習問題を載せたいと思います。それで、平方
完成はオシマイとします！
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
宮部みゆきさんの『ブレイブ・ストーリー』を読み終えてしまい、読む本が
なくなってしまいました（T_T）次は『ゲド戦記』でも読もうかとも思ってい
るのですが、よくよく考えてみると映画になったものやこれから映画化される
ものばかり読んでますね（笑）話題作をこんなに読むのは、私としては珍しい
ことです。流行りモノは読みたくならない、というへそ曲がりなところがある
ものですから（^^；
以前に買って、そのまま読んでいない『影の現象学』（河合隼雄著）を読ん
で、それから『ゲド戦記』を読むことにします。まずは『ゲド戦記』を手に入
れねば！楽天ブックスへＧＯ！（笑）
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