第0037号 平方完成の極意（その２）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0037号 (2006/06/23) ┃
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サッカーの日本代表がブラジルに負けてしまいました（T_T）朝早く起きて
応援したのですが、終わってみれば1-4という大差での負け。残念でした。で
も、選手のみなさんは頑張っていたと思います。お疲れ様でしたm(_ _)m
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．平方完成の極意（その２）
２．練習問題
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１．平方完成の極意（その２）
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前回、平方完成がどういうものか、ということについて説明しました。今回
は、前回の最後に約束しました通りに、平方完成の実際の計算方法を説明しま
す。
x^2 + 6x + 5 を平方完成することを考えてみます。
x^2 + 6x + 5 を ( )^2 + (定数) の形に変形するのが、平方完成だとい
うことは前回書きました。教科書などでは、カッコの２乗を作るために、
x^2 + 6x + (？)^2 - (？)^2 + 5
という式を考え、(？)のところに何が入るかを考えましょう！という感じで、
説明しています。これはこれで間違いではないのですが、慣れないと分かりに
くい上に、慣れてもあまりスピーディに平方完成できない、という欠点を持っ
ています。
とは言え、教科書や参考書などでに書かれている方法ですから、まずはそれ
から説明します。
カッコの２乗になる因数分解の公式は、
○^2 ± 2×○×△ + △^2 = (○ ± △)^2
です。これと x^2 + 6x + (？)^2 を見比べてみると、○に相当するのがxであ
ることが分かります。そうすると、真ん中の項は + 6x ですから
+ 2×○×△
↓ ↓
x 3
というように、△が3だと分かります。ちょうど6の半分ですね。３番目の項は
△^2 ですから、結局(？)が3であれば、
x^2 + 2×x×3 + 3^2 = (x + 3)^2
~~~
という変形ができるのです。したがって、
x^2 + 6x + 5
= x^2 + 6x + 3^2 - 3^2 + 5 ←（※）
= (x + 3)^2 - 9 + 5
= (x + 3)^2 - 4
~~~~~~~~~~~~~
と、なります。
このように、「何があればカッコの２乗に因数分解できるか」を考えて、そ
れをまず用意し、そして帳尻合わせに引いておく、ということをしているので
す。慣れない人にとって考えにくいのは、（※）の式を作るところです。さら
に、複雑な式になってくると、余計に分かりにくくなってきます。
そこで、（※）の部分を省いて、一気にその次の式を作ってしまうという、
大胆な方法を紹介したいと思います。
まず、前回も書いたように、大切なのは ( )^2 の中にxが完全に収まっ
ている、ということですから、焦点をxを含む項にだけ絞って考えることにし
ます。つまり、定数項はあと回しです。（これは上の方法でも同じですね）
次に、カッコの２乗を作りたいのだから、まずはそれを作ってしまって、そ
れから調整しよう！と考えるのです。
では、具体的にどうするかを書きます。
x^2 + 6x + 5 ←定数項はあと回し
~~~↑~~~
この部分に着目して
( )^2 を作る
x^2 + 6x → (x )^2
↑ ↑
ここにx^2が カッコの中には
あるのだから ⇒ xが当然あるはず！
(○ ± △)^2 = ○^2 ± 2×○×△ + △^2
という公式から、(x ± △)^2 を展開すると、xと±△を掛けたものを２倍し
た項が出てきます。（もちろん、△の２乗も出てきますが、それは後で考えま
す）
x^2 + 6x → (x ± △)^2
↑
xと±△を掛けたものの２倍が
この +6x になる
と、いうことは、±△は + 6x の係数 +6 の半分ということになります。した
がって、
x^2 + 6x → (x + 3)^2
│ ↑
└────┘
+6の半分の+3がカッコの中にあるはず！
というように、( )^2 を作れます。
しかし、上の式の左側と右側はイコールではありません。なぜなら、先ほど
も書きましたように、右側の式を展開すると、確かに x^2 と +6x は出てきま
すが、それだけでなく、+ 3^2 も出てくるからです！そこで、余分に出てくる
+ 3^2 を引いてやれば、左側と同じになることが分かります。すなわち、
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 3^2
となります。以上より、最初の式を平方完成する計算は次のようになります。
x^2 + 6x + 5 …（イ）
= (x + 3)^2 - 3^2 + 5 …（ロ）
= (x + 3)^2 - 9 + 5
= (x + 3)^2 - 4
~~~~~~~~~~~~~
ポイントは、（イ）の式を（ロ）の式に変形する部分です。ですから、しつ
こいようですが、どういう変形をしているのかをもう一度書きます。
┌─┐
x^2 │+6│x + 3
└─┘ └────┐
↓÷2 │定数項の+3は最後につけておく
┌─┐ ┌──┐ ↓
= (x │+3│)^2 -│3^2 │ + 3
└┬┘ └↑─┘ ~~~
└3^2が余分┘
に出てくる
から引く
このように、( )^2 を作りたいのだから、先に作ってしまって、後で余
分なものを引いて調整するのです。これですと、少し練習して慣れてくれば、
思考の流れを止めずに、スラスラと平方完成することができます。特に、分数
が出てきてしまうようなときには、かなりの威力を発揮すると思います。
次回は、x^2 の係数が1でない場合の平方完成について説明します！
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２．練習問題
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【練習問題】次の式を平方完成してください。
(1) x^2 + 4x - 1
(2) x^2 - 8x + 7
(3) x^2 + 3x + 2
すべて、上で説明した方法で平方完成できます。(3)はxの１次の項の係数が
奇数なので、分数が出てきます。頑張って計算しましょう！
【解答】
(1) x^2 + 4x - 1
~~~
= (x + 2)^2 - 2^2 - 1
↑ ↑
+4の半分 4の半分の2乗を引く
= (x + 2)^2 - 4 - 1
= (x + 2)^2 - 5
~~~~~~~~~~~~~
(2) x^2 - 8x + 7
~~~
= (x - 4)^2 - 4^2 + 7
↑ ↑
-8の半分 8の半分の2乗を引く
= (x - 4)^2 - 16 + 7
= (x - 4)^2 - 9
~~~~~~~~~~~~~
(3) x^2 + 3x + 2
~~~
3 3
= (x + ──)^2 - (──)^2 + 2
2 2
↑ ↑
+3の半分 3の半分の2乗を引く
3 9 8
= (x + ──)^2 - ── + ──
2 4 4
3 1
= (x + ──)^2 - ──
2 4
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
宮部みゆきさんの『ブレイブ・ストーリー』を読み終えました！前号では、
楽しく読んでます！とお気楽に書いたのですが、その直後からかなり深刻な展
開になっていき、時にはハラハラ、ドキドキしながら、時には胸が締め付けら
れるような思いで、時にはニコニコしながら、読んでいました。先が気になる
ので、どんどん読み進めていってしまいました。読み終えたあと、心地よい感
動が身体の中を満たしていくような気がしました。とにかく面白かったです！
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