第0035号 置き換えを利用した因数分解（その３）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0035号 (2006/06/16) ┃
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咳もだいぶ治まり、声もほぼ元通りに出るようになりました（^^）
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．置き換えを利用した因数分解（その３）
２．練習問題
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１．置き換えを利用した因数分解（その３）
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前回のメルマガで、x^6 - y^6 を因数分解する際に、3乗−3乗の形で考えて
因数分解をすると、ちょっと困った式が出てきてしまいました。2乗−2乗の形
で考えれば最後まで因数分解できるのに、3乗−3乗の形で考えると途中で止ま
ってしまうのです。そこで今回は、途中で行き詰ってしまった、
x^4 + x^2 y^2 + y^4 …（イ）
を、どうやって因数分解するかを考えてみます。
前回と同じように、x^2 = A、y^2 = B と置き換えてみても、
x^4 + x^2 y^2 + y^4
= (x^2)^2 + x^2 y^2 + (y^2)^2
= A^2 + AB + B^2
となってしまい、これ以上因数分解できません。この２次式はどうやっても、
通常の因数分解はできませんが、（イ）の状態の４次式であれば、実は因数分
解できる場合があるのです。
ちょっと特殊な考え方をしますので、先に解答を示しておくことにします。
【解答】
x^4 + x^2 y^2 + y^4
= (x^2)^2 + 2x^2 y^2 + (y^2)^2 - x^2 y^2
~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
= (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2
= (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)
= (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)
さて、いかがでしょうか？ここでのポイントは、うまい具合に、2乗−2乗の
形を作り出していることですね。どうやって考えればいいかというと、4乗の
項を (○)^2 、(△)^2 にしたときに、それらを使って (○ + △)^2 あるいは
(○ - △)^2 を作るためには何が必要かを考えます。すなわち、＋2×○×△
または −2×○×△ の項があればいいと考えて、まずはそれを書いてしまい
ます。しかし、勝手に式を変えてはいけませんから、それを「修正」するため
の式を後で付け加えます。その付け加えた式が、うまい具合に (□)^2 の形に
なってくれれば、2乗−2乗で再度因数分解ができるのです。
(○ + △)^2 - (□)^2 または (○ - △)^2 - (□)^2 のどちらの形にすれ
ばよいのかは、やってみなければ分かりません。まず、(○ + △)^2 になるよ
うにやってみて、うまくいかなかったら (○ - △)^2 で考えてみる、という
ように、手探りでやってみなければならないところもあります。慣れてくれば
頭の中だけでも考えられますが、最初のうちは実際に書いてみる方がいいと思
います。
このように、この因数分解はかなりテクニカルであり、特殊であるというこ
とがお分かりだと思います。ただ、場面によっては前回のように、この形での
因数分解が必要になることもありますので、覚えておいて損はないと思います。
下に練習問題を載せておきますので、興味を持たれた方はチャレンジしてみて
ください。
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２．練習問題
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【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) x^4 + 3x^2 y^2 + 4y^4
(2) x^4 - 3x^2 y^2 + y^4
(3) 4x^4 - 16x^2 y^2 + 9y^4
(4) x^4 - 3x^2 y^2 + 9y^4
すべて上でやったパターンで因数分解できます。パズルのつもりで気楽に取
り組んでみてください。
【解答】
(1) x^4 + 3x^2 y^2 + 4y^4
= (x^2)^2 + 4x^2 y^2 + 4(y^2)^2 - x^2 y^2
= (x^2 + 2y^2)^2 - (xy)^2
= (x^2 + 2y^2 + xy)(x^2 + 2y^2 - xy)
= (x^2 + xy + 2y^2)(x^2 - xy + 2y^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) x^4 - 3x^2 y^2 + y^4
= (x^2)^2 - 2x^2 y^2 + y^4 - x^2 y^2
= (x^2 - y^2)^2 - (xy)^2
= (x^2 - y^2 + xy)(x^2 - y^2 - xy)
= (x^2 + xy - y^2)(x^2 - xy - y^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) 4x^4 - 16x^2 y^2 + 9y^4
= 4(x^2)^2 - 12x^2 y^2 + 9(y^2)^2 - 4x^2 y^2
= (2x^2 - 3y^2)^2 - (2xy)^2
= (2x^2 - 3y^2 + 2xy)(2x^2 - 3y^2 - 2xy)
= (2x^2 + 2xy - 3y^2)(2x^2 - 2xy - 3y^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(4) x^4 - 3x^2 y^2 + 9y^4
= (x^2)^2 + 6x^2 y^2 + 9(y^2)^2 - 9x^2 y^2
= (x^2 + 3y^2)^2 - (3xy)^2
= (x^2 + 3y^2 + 3xy)(x^2 + 3y^2 - 3xy)
= (x^2 + 3xy + 3y^2)(x^2 - 3xy + 3y^2)
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─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今までバックナンバーをブログに載せていたのですが、元々は数学のブログ
ではなく、私が受ける情報処理技術者試験の勉強に関して書いていくつもりだ
ったのです。ですから、バックナンバーが増えるにしたがって、違和感を感じ
始めていました。情報処理の勉強をしていなかったために、その話題での記事
が書けなかったということもあるのですが…。
そこで思い切って、バックナンバーを別のサイトに移すことにしました。ま
だ、全部のバックナンバーが掲載できているわけではありませんが、とりあえ
ず、公開することにしました。今後は、バックナンバーをご覧になりたいとき
には、下記のページでご覧ください。また、数学学習についてのサイトも作成
する予定です。ただ、コチラの方はいつになるかは保証の限りではありません
が…（苦笑）
バックナンバーページ → http://mathemaster.com/magback_index.htm
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