第0034号 置き換えを利用した因数分解（その２）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0034号 (2006/06/14) ┃
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２週間ぶりの発行になってしまいました。教育実習生が来ていたということ
もあるのですが、嬉しくないおまけとして、風邪をひいてしまいました（涙）
体調優先ということで、間が空いてしまったことをお詫びいたしますm(_ _)m
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．置き換えを利用した因数分解（その２）
２．練習問題
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１．置き換えを利用した因数分解（その２）
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【例題１】x^4 - 5x^2 + 4 を因数分解してください。
この４次式の特徴は、
・項の数が３つである
・文字の次数が４次、２次となっており、ちょうど２倍である
というところにあります。このような４次式は、次のように因数分解します。
（いつもできるとは限りませんが）
x^4 - 5x^2 + 4
= (x^2)^2 - 5x^2 + 4
x^2 = A とおくと
(x^2)^2 - 5x^2 + 4
= A^2 - 5A + 4
= (A - 1)(A - 4)
= (x^2 - 1)(x^2 - 4) ──────┐カッコの中がさらに因数分解
│できるなら因数分解する
= (x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) ←┘
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
この例題ではx^2をAと置き換えて因数分解しましたが、慣れてきたら頭の中
だけで置き換えができるように練習してみてください。
【例題２】x^6 + 7x^3 - 8 を因数分解してください。
これも例題１と同じパターンですが、x^3 と x^6 になっているところに注
意して因数分解しましょう。
ここでは頭の中で置き換えをしているという前提で、解答を書きます。
x^6 + 7x^3 - 8
= (x^3)^2 + 7x^3 - 8
= (x^3 - 1)(x^3 + 8) ────────────┐3乗−3乗の公式、
│3乗＋3乗の公式で
= (x - 1)(x^2 + x + 1)(x + 2)(x^2 - 2x + 4) ←┘因数分解する
= (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 1)(x^2 - 2x + 4) ←─見栄えがいいように、
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 並べ替えてみました
「x^3 = A とおくと」というような部分を書かずに、頭の中だけで置き換え
をしてやると、答案がすっきりします。
【例題３】x^4 - 16 を因数分解してください。
今度は項が２つです。ですが、例題１と同じように x^4 を (x^2)^2 と考え
ると、うまくいきます。
x^4 - 16
= (x^2)^2 - 16
= (x^2 - 4)(x^2 + 4)
= (x + 2)(x - 2)(x^2 + 4)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
【例題４】x^6 - y^6 を因数分解してください。
例題３と同じパターンですが、これは２通りの解き方があります。ただ、別
解のやり方で解いた場合、新たな問題が生じます。まずは、きちんと解ける方
から。
x^6 - y^6
= (x^3)^2 - (y^3)^2
= (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)
= (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)
= (x + y)(x - y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
（別解）
x^6 - y^6
= (x^2)^3 - (y^2)^3
= (x^2 - y^2){(x^2)^2 + x^2 y^2 + (y^2)^2}
= (x + y)(x - y)(x^4 + x^2 y^2 + y^4)
~~~~~↑~~~~~~~~~~~~~~
上の解答を見る限り、これはさらに因数分解できるはずなのですが、このま
までは因数分解できません。これを因数分解する技は、次回のメルマガで伝授
します。
また、3乗＋3乗 や 3乗−3乗 の因数分解の公式は、メルマガのバックナン
バー第0012号をご覧ください。練習問題などはありませんが、公式の覚え方を
載せています。
⇒ http://smi-teacher.seesaa.net/article/15793220.html
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２．練習問題
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【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) x^4 - x^2 - 12
(2) 16x^4 - 81y^4
(3) x^6 + 9x^3 y^3 + 8y^6
(4) x^6 - 64
上の例題のどれかには該当します。式の形などから、まずはパターンを見抜
いてください。次にうまく ( )^2 の形にすることを考えるようにしてくださ
い。
【解答】
(1) x^4 - x^2 - 12
= (x^2)^2 - x^2 -12
= (x^2 - 4)(x^2 + 3)
= (x + 2)(x - 2)(x^2 + 3)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) 16x^4 - 81y^4
= (4x^2)^2 - (9y^2)^2
= (4x^2 - 9y^2)(4x^2 + 9y^2)
= (2x + 3y)(2x - 3y)(4x^2 + 9y^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) x^6 + 9x^3 y^3 + 8y^6
= (x^3)^2 + 9x^3 y^3 + 8(y^3)^2
= (x^3 + y^3)(x^3 + 8y^3)
= (x + y)(x^2 - xy + y^2)(x + 2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)
= (x + y)(x + 2y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 - 2xy + 4y^2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(4) x^6 - 64
= (x^3)^2 - 8^2
= (x^3 + 8)(x^3 - 8)
= (x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
= (x + 2)(x - 2)(x^2 - 2x + 4)(x^2 + 2x + 4)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
いかがでしたか？今回は図らずも、3乗＋3乗 や 3乗−3乗 の因数分解の練
習にもなりました。繰り返し練習してみてください。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
風邪を引いて咳とのどの痛みが酷かったのですが、幸い熱は出ませんでした
ので仕事を休むほどではありませんでした。ただ、教育実習期間中だったため、
病院に行けなかったのがちょっと辛かったですね。声もヒドイ状態で、生徒達
はさぞ聞きづらかったことと思います（涙）
ハリーポッター最新刊を読み終えた後、ダヴィンチコードを読みました。こ
ちらもなかなか面白かったです。映画も評判のようですが、あれだけの内容を
２時間半に収めるのは無理があるような気がします。（まだ観ていませんが…）
ハリーポッターも映画だけでは、ストーリーがよく掴めないところがあります
ね。やはり原作も読み、映画も観るというのが王道ですかね（笑）現在は、宮
部みゆきさんの『ブレイブ・ストーリー』を読んでいます。
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