第0033号 置き換えを利用した因数分解
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0033号 (2006/05/31) ┃
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教育実習生が来ています。私が担当している実習生は、数学ではなく情報で
す。今週・来週と実習生の指導があるため、メルマガの発行が不定期になるか
もしれません。そのときには、ご容赦下さい。m(_ _)m
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．置き換えを利用した因数分解
２．練習問題
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１．置き換えを利用した因数分解
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今回は置き換えを利用した因数分解を扱いたいと思います。基本問題とちょ
っとした応用の２つを取り上げます。
【例題１】(x^2 + x)^2 + (x^2 + x) - 6 を因数分解してください。
こういった式が与えられたときに、つい焦って展開を始めてしまう人がいま
すが、まずは式全体の特徴をつかむようにしましょう。そうすると、x^2 + x
が２つあることに気付きます。この x^2 + x を別の文字で置き換えてみると、
どういう構造になっているかがよく分かります。
x^2 + x = A とおくと、
(x^2 + x)^2 + (x^2 + x) - 6
~~~~~~~ ~~~~~~~
= A^2 - A - 6 ←Aについての２次式になっている！
= (A - 2)(A + 3) ─┐
│A を x^2 + x に戻す！
= (x^2 + x - 2)(x^2 + x + 3) ←┘
※かっこの中が２次式のときはさらに
= (x - 1)(x + 2)(x^2 + x + 3) 因数分解できるかどうかを考える！
上の因数分解で、最後の部分については、左側のカッコ内の２次式はさらに
因数分解できますが、右側のカッコ内の２次式はこれ以上因数分解できません。
したがって、右側のカッコ内はそのままでＯＫです。
【例題２】(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 を因数分解してください。
例題１がうまくいったのは、x^2 + x という共通部分がうまい具合にあった
からです。では、この問題ではどうでしょうか？与えられた式のままの状態で
は、共通の部分はありません。ところが、４つあるカッコをうまく２つずつの
ペアにして展開をしてやると、共通の部分が出てきます。さて、どう組み合わ
せればいいでしょうか？
こういうときは、試しにやってみる、というのも大事です。最初の２つと後
半の２つをペアにして展開してみましょう。
(x + 2)(x + 3) = x^2 + 5x + 6
(x + 4)(x + 5) = x^2 + 9x + 20
残念ながら期待したような共通部分は出てきませんでした。では、次に外側の
２つと、内側の２つというペアを作って、展開してみましょう。
(x + 2)(x + 5) = x^2 + 7x + 10
~~~~~~~~
(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12
~~~~~~~~
はい。x^2 + 7x が共通のものとして出てきました。では、これらを踏まえた
上で因数分解に取り掛かりましょう。
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24
= (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) - 24
= (x^2 + 7x + 10)(x^2 + 7x + 12) - 24
~~~~~~~~ ~~~~~~~~
ここで、x^2 + 7x = A とおくと、
与式 = (A + 10)(A + 12) - 24
= A^2 + 22A + 120 - 24
= A^2 + 22A + 96
= (A + 6)(A + 16)
= (x^2 + 7x + 6)(x^2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6)(x^2 + 7x + 16)
ここでは、最初の４つのカッコをどう組み合わせて展開すればうまくいくか
を考える必要があります。パズルのつもりで、あれこれと試してみてください。
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２．練習問題
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【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) (a + b)^2 - 4(a + b) + 3
(2) (x^2 - x + 1)(x^2 - x + 2) - 12
(3) (x + 2)(x + 3)(x - 4)(x - 5) - 144
うまく共通部分を見つけたり、作り出したりして因数分解してください。
【解答】
(1) (a + b)^2 - 4(a + b) + 3
~~~~~ ~~~~~
a + b = A とおくと、
与式
= A^2 - 4A + 3
= (A - 3)(A - 1)
= (a + b - 3)(a + b - 1)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) (x^2 - x + 1)(x^2 - x + 2) - 12
x^2 - x = A とおくと、
与式
= (A + 1)(A + 2) - 12
= A^2 + 3A + 2 -12
= A^2 + 3A - 10
= (A - 2)(A + 5)
= (x^2 - x - 2)(x^2 - x + 5)
= (x + 1)(x - 2)(x^2 - x + 5)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) (x + 2)(x + 3)(x - 4)(x - 5) - 144
= (x + 2)(x - 4)(x + 3)(x - 5) - 144
= (x^2 - 2x - 8)(x^2 - 2x - 15) - 144
x^2 - 2x = A とおくと、
与式
= (A - 8)(A - 15) - 144
= A^2 - 23A + 120 - 144
= A^2 - 23A - 24
= (A + 1)(A - 24)
= (x^2 - 2x + 1)(x^2 - 2x - 24)
= (x - 1)^2 (x + 4)(x - 6)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
『ハリーポッターと謎のプリンス』をこの前から読んでいますが、下巻の真
ん中あたりまで来ました。『不死鳥の騎士団』とはまた違った緊迫感がありま
す。この先どうなるのか、非常に気になります（笑）これを書き終えたら、続
きを読むことにします！
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