第0032号 少し複雑な因数分解（その４）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0032号 (2006/05/29) ┃
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理解して覚える。理解した上で計算練習をする。大切なことなのですが、実
際にはなかなか難しいところがあります。内容によっては、理解が非常に難し
いものもあったりしますからね…。いずれにしても、自分で問題を解くことを
しなければ、なかなか実力はつかないものです。
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．少し複雑な因数分解（その４）
２．練習問題
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１．少し複雑な因数分解（その３）
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前号に引き続き、もう１つのパターンを扱ってみたいと思います。
（例題３）2x^2 - 3xy - 2y^2 - x + 7y - 3 を因数分解してください。
まず第１段階の変形を行います。
2x^2 - 3xy - 2y^2 - x + 7y - 3
= 2x^2 - 3xy - x - 2y^2 + 7y - 3
~~~~│~~~ ~~~~~~~~~│~~~~
│(＊) │前回同様、マイナスでくくる
↓ ↓
= 2x^2 + (-3y - 1)x - (2y^2 - 7y + 3)
~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~│~~~~~~
│yについて、たすきがけで因数分解
↓
= 2x^2 + (-3y - 1)x - (2y - 1)(y - 3)
(＊)の箇所について補足説明をしておきます。教科書や問題集では、この部
分について、定数項と同じようにマイナスでくくり、- (3y + 1) としていま
す。式の形としてはこの方が見栄えが良いのですが、たすきがけで因数分解を
しようというときに、若干分かりづらい気がします。
そのため、私はxの係数の部分では、符号については常にプラスでくくり、
+ ( ) の形にするように言っています。ただ、そうすることの欠点は、定
数項ではy^2の係数がマイナスのときにはマイナスでくくり、xの係数部分では
そうしないという、整合性に欠けるところが出てきてしまうことです。
定数項の部分では、なぜマイナスでくくるのかというと、符号をあとで考え
られるようにするためです。xの係数については、なぜマイナスでくくらない
のかというと、たすきがけをして足したあとのチェックをするときに、マイナ
スでくくっていない方がチェックしやすいからです。
そのあたりの理由をきちんと理解していれば、混乱はないと思うのですが、
「なぜそうするのか？」ということを考えることに慣れていない生徒たちは、
理由を考えずに覚えようとしてしまいます。そうすると、たちまち混乱してし
まうのですね。どちらを取るかは痛し痒しですが、私としては、理由を理解し
たうえで、自分のやりやすい方法を選んでもらえばいいかな、と思っています。
【トライ１】
1 y - 3 → 2y - 6 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
2 -(2y - 1) → -2y + 1 ─┤
──────────────── │
-5 ←┘
~~ 残念！
【トライ２】
1 -(2y - 1) → -4y + 2 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
2 y - 3 → y - 3 ─┤
──────────────── │
-3y - 1 ←┘
~~~~~~~ ＯＫ！
以上から、与えられた式を因数分解すると、次のようになります。
2x^2 - 3xy - 2y^2 - x + 7y - 3
= 2x^2 - 3xy - x - 2y^2 + 7y - 3
= 2x^2 + (-3y - 1)x - (2y^2 - 7y + 3)
= 2x^2 + (-3y - 1)x - (2y - 1)(y - 3)
= {x - (2y - 1)}(2x + y - 3)
= (x - 2y + 1)(2x + y - 3)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
（例題４）6x^2 - 7xy + 2y^2 - 7x + 5y - 3 を因数分解してください。
6x^2 - 7xy + 2y^2 - 7x + 5y - 3
= 6x^2 - 7xy - 7x + 2y^2 + 5y - 3
= 6x^2 + (-7y - 7)x + (2y - 1)(y + 3)
【トライ１】
1 y + 3 → 6y + 18 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
6 2y - 1 → 2y - 1 ─┤
─────────────── │
8y + 17 ←┘
~~~~~~~ 残念！
【トライ２】
2 y + 3 → 3y + 9 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
3 2y - 1 → 4y - 2 ─┤
─────────────── │
7y + 7 ←┘
~~~~~~ 惜しい！
7y+7 はxの係数の -7y-7 と符号だけが違っています。こういうときは、定
数の部分の符号を両方とも変えれば良かったのですよね？ということで、トラ
イ３です。
【トライ３】
2 -(y + 3) → -3y - 9 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
3 -(2y - 1) → -4y + 2 ─┤
──────────────── │
-7y - 7 ←┘
~~~~~~~ ＯＫ！
以上から、与えられた式を因数分解すると、次のようになります。
6x^2 - 7xy + 2y^2 - 7x + 5y - 3
= 6x^2 - 7xy - 7x + 2y^2 + 5y - 3
= 6x^2 + (-7y - 7)x + (2y - 1)(y + 3)
= (3x - 2y + 1)(2x - y - 3)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
答案として書くときには、この一番最後の部分だけをまとめて書くことにな
ります。その上の「トライ」の部分は余白などに計算をして、答案には含めま
せん。ですから、問題集などの解答では、たいてい最後の計算しか書きません。
紙幅の都合などもありますから仕方のないところではありますが、どう計算し
たかが分かりにくいので、学び始めの人や苦手な人にとってはツライところで
すよね。
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２．練習問題
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【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) 4x^2 - 8xy + 3y^2 + 6x - 11y - 4
(2) 3x^2 - 7xy - 6y^2 + 3x + 13y - 6
(3) 4x^2 + 13xy + 3y^2 + 3x - 13y - 10
(4) 6x^2 + 4xy - 2y^2 + 5x - 3y - 1
今回の練習問題は、前号でやったパターンも含んでいます。ですが、パター
ンなどはあまり意識せず、どうやったらうまくいくかを自分で考えながら、取
り組んでみてください。結局は自分で考え、自分で判断することが大切なので
すから。
【解答】
(1) 4x^2 - 8xy + 3y^2 + 6x - 11y - 4
= 4x^2 - 8xy + 6x + 3y^2 - 11y - 4
= 4x^2 + (-8y + 6)x + (3y + 1)(y - 4)
= {2x - (3y + 1)}{2x - (y - 4)}
= (2x - 3y - 1)(2x - y + 4)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) 3x^2 - 7xy - 6y^2 + 3x + 13y - 6
= 3x^2 - 7xy + 3x - 6y^2 + 13y - 6
= 3x^2 + (-7y + 3)x - (6y^2 - 13y + 6)
= 3x^2 + (-7y + 3)x - (2y - 3)(3y - 2)
= (3x + 2y - 3){x - (3y - 2)}
= (3x + 2y - 3)(x - 3y + 2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) 4x^2 + 13xy + 3y^2 + 3x - 13y - 10
= 4x^2 + 13xy + 3x + 3y^2 - 13y - 10
= 4x^2 + (13y + 3)x + (3y + 2)(y - 5)
= (4x + y - 5)(x + 3y + 2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(4) 6x^2 + 4xy - 2y^2 + 5x - 3y - 1
= 6x^2 + 4xy + 5x - 2y^2 - 3y - 1
= 6x^2 + (4y + 5)x - (2y^2 + 3y + 1)
= 6x^2 + (4y + 5)x - (2y + 1)(y + 1)
= {6x - (2y + 1)}(x + y + 1)
= (6x - 2y - 1)(x + y + 1)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
ブログにも書きましたが、先週の金曜日は出張で代ゼミの大学入試研究会に
行ってきました。受験人口が減ってきている現在、大学全入時代とも言われま
す。しかし、私立・国公立ともに二極化が進んでいて、大学間の格差が一段と
大きくなっているとのことでした。
さらに、推薦やＡＯ入試などで合格する生徒が増加している状況ですので、
大学に入学してからの勉強が心配なところでもあります。数学に関しても、受
験テクニックを覚える必要はなくても、数学の内容をきちんと理解しておくこ
とは必要だと思います。推薦やＡＯで大学を受験しようと考えている高校生の
諸君には、公式や計算方法の丸暗記ではなく、「理解」を伴った反復練習を心
がけてほしいと思います。
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