第0031号 少し複雑な因数分解（その３）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0031号 (2006/05/24) ┃
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何とか中間試験の問題を作ることができました。ですが、試験を作って実施
したら、次には採点が待っています（T_T）ガーーン
、、、気を取り直して今回のメルマガをスタートさせましょう！
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．少し複雑な因数分解（その３）
２．練習問題
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１．少し複雑な因数分解（その３）
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前号と同じ型の因数分解を扱ってみたいと思います。ただし、今回は、符号
に気をつけて因数分解する必要があります。その点で前号よりもやや難しくな
っています。
（例題２）4x^2 + 2xy - 6y^2 + 2x - 7y - 2 を因数分解してください。
まず第１段階の変形を行います。
4x^2 + 2xy - 6y^2 + 2x - 7y - 2
= 4x^2 + 2xy + 2x - 6y^2 - 7y - 2
~~~~~~│~~~~~~~
│y^2 の係数が-6なので、−( )にする
↓
= 4x^2 + (2y + 2)x - (6y^2 + 7y + 2)
~~~~~│~~~~~~
│yについて、たすきがけで因数分解
↓
= 4x^2 + (2y + 2)x - (3y + 2)(2y + 1)
ここまできたら、この式全体をxの２次式として見てやって、たすきがけの
因数分解を行います。定数項が - (3y + 2)(2y + 1) ですから、普通のたすき
がけの、定数項が負の数のときと同じ考えでやっていきます。すなわち、まず
は符号のマイナスは置いといて、因数として 3y + 2 と 2y + 1 を考えます。
次に、そのどちらか一方にマイナスがつくと考えるのです。
【トライ１】
1 2y + 1 → 8y + 4 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
4 -(3y + 2) → -3y - 2 ─┤
──────────────── │
5y + 2 ←┘
~~~~~~ 残念！
【トライ２】
1 -(3y + 2) → -12y - 8 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
4 2y + 1 → 2y + 1 ─┤
──────────────── │
-10y - 7 ←┘
~~~~~~~~ 残念！
【トライ３】
2 2y + 1 → 4y + 2 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
2 -(3y + 2) → -6y - 4 ─┤
──────────────── │
-2y - 2 ←┘
~~~~~~~ 惜しい！
【トライ３】で -2y-2 となりました。これは、xの係数の 2y+2 と符号だけ
が違っています。普通の数の場合のたすきがけでも、符号だけが違っている場
合は、定数項の組み合わせで符号だけを入れ替えればＯＫでした。ここでも、
やはり同じことが言えます。
【トライ４】
2 -(2y + 1) → -4y - 2 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
2 3y + 2 → 6y + 4 ─┤
──────────────── │
2y + 2 ←┘
~~~~~~ ＯＫ！
以上から、与えられた式を因数分解すると、次のようになります。
4x^2 + 2xy - 6y^2 + 2x - 7y - 2
= 4x^2 + 2xy + 2x - 6y^2 - 7y - 2
= 4x^2 + (2y + 2)x - (6y^2 + 7y + 2)
= 4x^2 + (2y + 2)x - (3y + 2)(2y + 1)
= {2x - (2y + 1)}(2x + 3y + 2)
= (2x - 2y - 1)(2x + 3y + 2)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
次回は、もう１つ違うパターンについて見てみたいと思います。とりあえず、
前号と今回のパターンについて練習問題を下に載せますので、やってみてくだ
さい。実際にやってみると、実は同じことを繰り返しやっているだけですから、
きちんと練習すればできるようになります！頑張ってください。
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２．練習問題
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【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) 6x^2 + 8xy + 2y^2 + x - 5y - 12
(2) 4x^2 + 5xy - 6y^2 + 11x - 11y - 3
下に、途中の計算つきの解答を載せておきます。いくつかのトライも載せて
おくことにしますので、間違えた場合にはどこで間違えたのかよく確認してく
ださい。間違いを自分で確認する作業も、数学の力を伸ばす秘訣の１つです。
では、実際にチャレンジしてみてください！
【解答】
(1) 6x^2 + 8xy + 2y^2 + x - 5y - 12
= 6x^2 + 8xy + x + 2y^2 - 5y - 12
= 6x^2 + (8y + 1)x + (2y + 3)(y - 4)
（トライ１）
1 2y + 3 → 12y + 18 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
6 y - 4 → y - 4 ─┤
─────────────── │
13y + 14 ←┘
~~~~~~~~ 残念！
（トライ２）
2 2y + 3 → 6y + 9 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
3 y - 4 → 2y - 8 ─┤
────────────── │
8y + 1 ←┘
~~~~~~ ＯＫ！
したがって、
与式 = (2x + 2y + 3)(3x + y - 4)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) 4x^2 + 5xy - 6y^2 + 11x - 11y - 3
= 4x^2 + 5xy + 11x - 6y^2 - 11y - 3
= 4x^2 + (5y + 11)x - (6y^2 + 11y + 3)
= 4x^2 + (5y + 11)x - (2y + 3)(3y + 1)
（トライ１）
1 -(2y + 3) → -8y - 12 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
4 3y + 1 → 3y + 1 ─┤
──────────────── │
-5y - 11 ←┘
~~~~~~~~ 惜しい！
（トライ２）
1 2y + 3 → 8y + 12 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │
4 -(3y + 1) → -3y - 1 ─┤
──────────────── │
5y + 11 ←┘
~~~~~~~ ＯＫ！
したがって、
与式 = (x + 2y + 3){4x - (3y + 1)}
= (x + 2y + 3)(4x - 3y - 1)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
※「与式」とは、問題などで与えられた式、というような意味です。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
『ハリーポッターと謎のプリンス』を読み始めました！もちろん、電車の中
オンリーです（^^）本が厚くて重いので、電車で立ちながら読むのはけっこう
大変なのですが、それでも頑張って読んでいます。だんだんと予断を許さない
緊迫した話になってきていますので、先が気になって仕方がありません（笑）
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