第0029号 少し複雑な因数分解（その１）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0029号 (2006/05/19) ┃
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しばらく数列の問題を扱ってきましたので、少し趣を変えて、因数分解の問
題を扱ってみたいと思います。
初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
──Contents─────────────────────────────
１．少し複雑な因数分解（その１）
２．因数分解の練習問題
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１．少し複雑な因数分解（その１）
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項の数が多い多項式の場合、どう因数分解したらいいのか見当もつかない、
ということがあります。そんなときに、試してみてほしい方法がこれです。
☆次数の最も低い文字に着目して整理する
具体的な因数分解の問題の例を挙げて説明します。
（例題）x^3 - xy^2 - y^2 z + x^2 z
まず最初にチェックすべきことは、共通因数があるかどうか、です。全部の
項に共通している文字はありませんし、係数の最大公約数も1です。というこ
とで、全体を共通因数でくくることはできません。
次に、公式に当てはまるかどうかを考えます。とりあえず、これまで示して
きた公式のどれかに当てはまりそうもありません。そこで、上の方法の登場で
す！
この式には、x、y、zと３つの文字が使われています。それぞれの最高次数
を見てみると、
x … 3次、y … 2次、z … 1次
となっています。ということは、最も次数の低い文字はzということになりま
すので、zについて整理してみます。
まず、zを含む項を前に、含まない項を後ろに集めます。（逆でも構いませ
ん）
x^2 z - y^2 z + x^3 - xy^2
ここで、x^2 z と - y^2 z の順番を入れ替えたのは、１つはマイナスが先頭
に来るのはイヤだな、と思ったからですが、それ以上に、zを除いた文字がア
ルファベット順に並ぶようにしたからです。こうすることによって、見やす
くなることが多いのですが、もちろん必ずアルファベット順でなければなら
ないというわけではありません。
さて、ここでzを含んでいる項は、zでくくってみます。
x^2 z - y^2 z + x^3 - xy^2
= (x^2 - y^2) z + x^3 - xy^2
~~~~~~~~~~~~~~
まだこれでは、因数分解できそうにないですね。そこで、右半分を見てみると
xが共通因数となっているのが分かります。そこで、右半分について、xでくく
ってみましょう。（最初の計算にどんどん付け加えて書いていきます）
x^2 z - y^2 z + x^3 - xy^2
= (x^2 - y^2) z + x^3 - xy^2
~~~~↓~~~~
= (x^2 - y^2) z + x (x^2 - y^2)
~~~~~~~~~~~~~
ここで、因数分解で持っておいてほしい「感覚」は、共通の部分はあるか？と
探す「目」です。その「目」で見ると、x^2 - y^2 が左側と右側で共通にある
ことが分かると思います。共通部分は、それでくくることができます。
x^2 z - y^2 z + x^3 - xy^2
= (x^2 - y^2) z + x^3 - xy^2
= (x^2 - y^2) z + x (x^2 - y^2)
~~~~│~~~~~ ~~~~│~~~~~
├────────┘
↓
= (x^2 - y^2)(z + x)
~~~~~~~~~~~
これで、最初に与えられた式を式同士の積の形で表すことができました。し
かし、因数分解の問題では、これ以上分解できないというところまで分解しな
ければなりません。カッコの中が2次式であるような場合には、もう一度見る
ようにしてください。これも因数分解では持っておいてほしい感覚の１つです。
先ほどくくり出した x^2 - y^2 をよく見ると、これは2乗−2乗の形になって
いますから、和と差の積に因数分解できます。したがって、
x^2 z - y^2 z + x^3 - xy^2
= (x^2 - y^2) z + x^3 - xy^2
= (x^2 - y^2) z + x (x^2 - y^2)
= (x^2 - y^2)(z + x)
~~~~~↓~~~~
= (x + y)(x - y)(z + x)
~~~~~~~~~~~~~~
= (x + y)(x - y)(x + z)
と、なります。もうこれ以上は分解できませんので、これで完了です。
いつもこれで因数分解できるとは限りませんが、項が多くて分かりづらいと
きには有効なことがありますので、１つのワザとして覚えておくと便利です。
もし、すべての文字の最高次数が同じ場合には、どの文字で整理しても構いま
せん。
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２．因数分解の練習問題
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【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) a^2 + ac - bc - b^2
(2) x^3 - 4xy^2 + x^2 z - 4y^2 z
ヒントは、上で述べた「最も次数の低い文字について整理する」方法を使う
ということです。
【解答】
(1) a^2 + ac - bc - b^2
= ac - bc + a^2 - b^2
= (a - b) c + (a + b)(a - b)
= (a - b)(c + a + b)
= (a - b)(a + b + c)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) x^3 - 4xy^2 + x^2 z - 4y^2 z
= x (x^2 - 4y^2) + z (x^2 - 4y^2)
= (x^2 - 4y^2)(x + z)
= (x + 2y)(x - 2y)(x + z)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
ダ・ヴィンチ・コードがとっても気になってるんですが、読む時間がありま
せん（涙）とりあえず、『ハリー・ポッターと謎のプリンス』を読まねば！と
思っているのですが、中間試験の問題も作らなければいけないので、苦しい所
です（笑）
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