第0022号 sin、cosの３倍角の公式
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0022号 (2006/04/21) ┃
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ここのところ寝不足が続いているので、非常に眠いですzzz
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sin、cosの３倍角の公式
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前号でお約束したように、今日はsin、cosの３倍角の公式を導いてみたいと
思います。実は、今の指導要領では３倍角の公式は扱わないんですよね。内容
の削減、ということなのでしょうが、加法定理と２倍角の公式の導き方が頭に
入っていれば、それほど難しくはありません。ただ、あの公式を「覚え」よう
とすると、かなり苦痛ですけどね（笑）
と、いうことで、今回は覚えるのではなく、導けるようになることを目指し
ます。3α=α+2α として加法定理を使う、これがヒントです。２倍角の公式
も使いますので、合わせて思い出してください。では、まずは自力でトライし
てみてください。
では、sin3α、cos3αの両方を導いてみます。
sin3α=sin(α+2α)
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα(1-2sin^2 α)+cosα・2sinαcosα
=sinα-2sin^3 α+2sinαcos^2 α …（イ）
ここまでは、何とかなるとは思いますが、何だかまだカッコよくないですよ
ね（^^）要は、sinの３倍角の式なのにcosが混じっていたり、全体として統一
された感じがなかったり…。何より、項が多くてスッキリしていません。では、
これをさらに変形することはできるのでしょうか？
注目すべきは、sinの中に混ざっているcosです。cos^2 αを変形するには…
第16号でも使った、基本公式の
sin^2 α+cos^2 α=1 ⇒ cos^2 α=1-sin^2 α
を使えばいいのです。
（イ）=sinα-2sin^3 α+2sinα(1-sin^2 α)
=sinα-2sin^3 α+2sinα-2sin^3 α
=3sinα-4sin^3 α
これで、だいぶスッキリしました。見た目もカッコよくなりました（笑）
もう１つはcosの３倍角の公式です。こちらも同じようにできますので、や
はり自分でチャレンジしてみてください。最後に結果だけをまとめて書いてお
きます。なるべく自分で導いてみてから、確認してください。
繰り返しますが、大切なのは「自分でやってみること！」です。そこを忘れ
ずに、あなた自身の力で公式を導いてみてください。きっと新しい世界が開け
てくるはずです。
【３倍角の公式】
sin3α=3sinα-4sin^3 α
cos3α=4cos^3 α-3cosα
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
私はけっこうマンガが好きで、いろいろと読んでいます（笑）今読み返して
いるのは、高橋しん先生の『いいひと。』です。文庫本で前に買ったのを、ま
た読み返しているのです。子どもの頃は、マンガもあまり買えなかったので、
同じ本を何回も何回も読み返していましたね。それこそ、セリフを覚えてしま
うぐらいに（笑）今、うちの次男がその状態になっています。もっとも、読ん
でいるのは、私のマンガですけどね（^^）
では、また来週。
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