第0021号 tanの２倍角の公式
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0021号 (2006/04/19) ┃
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最近は忙しいため、以前から通っている囲碁学校に行けずにいます。日本棋
院本院で開催されている囲碁学校で、プロの先生が教えてくださいます。さす
がプロは違うな〜、と思うことしきりです（当然ですけどね）。来月は、行け
るといいな…。
──Contents─────────────────────────────
１．tanの２倍角の公式
２．Σの公式（その２）
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１．tanの２倍角の公式
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第19号・第20号でtanの加法定理の導き方とその覚え方について書きました。
順番からいって、やはり次は２倍角の公式でしょう。まずは、tanの加法定理
を覚えているか（さっと作れるか）自分でやってみてください。
どうですか？覚えていましたか？
tanの２倍角の公式は、以前にsin、cosでやった２倍角の公式の導き方と同
じことをやってやればイイのです。基本的な技術や考え方が身についてくると、
だんだんそれを利用することができるようになってきます。これが、少なく覚
えて、とことん使う極意です（笑）
さて、tanの加法定理は以下の通りでした。
tanα + tanβ
tan(α+β) = ────────
1 - tanαtanβ
前にやった方法というのは、2α=α+α と考えて加法定理を使うんでしたよ
ね。したがって、
tan2α = tan(α+α)
tanα + tanα
= ────────
1 - tanαtanα
2tanα
= ──────
1-tan^2 α
となります。簡単ですね（笑）次回はさらなる応用として、sin、cosの３倍角
の公式にチャレンジしてみることにします！
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２．Σの公式（その２）
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今回は残り３つの公式を書きます。導き方などについては、ここでは触れま
せん。大事なのは、前回同様、Σそのものの意味とは別のところで、何らかの
理屈によりこの公式が導かれたということ、そしてその結果だけを覚えてしま
おう、ということです。
【Σの公式（その２）】
(3) n 1
Σk^2 = ─n(n+1)(2n+1)
k=1 6
(4) n 1
Σk^3 = ─n^2 (n+1)^2
k=1 4
(5) n 1-r^n r^n -1
Σr^(k-1) = ──── = ────
k=1 1-r r-1
(5)は通常、等比数列の和の公式として扱い、Σの公式には含みません。で
すが、これも「公式」という形で覚えてしまって、さらにその公式の利用の仕
方をマスターすると、非常に便利になります。今日は、計算や導き方などにつ
いては触れませんので、前回の２つと合わせて、合計５つの公式を覚えること
に専念してください。
ちなみに、このメルマガでは書きづらかったので避けましたが、(4)の公式
の右辺は、(2)の公式の右辺を2乗したものになっています。そこに気がつけば
覚えやすいと思います。
(3)の教科書での導き方は、唐突な印象を与える方法であり、なおかつ分か
りづらいものです。『博士の愛した数式』を書かれた小川洋子さんと数学者の
藤原正彦先生との対談『世にも美しい数学入門』では、なるほど〜、と思わせ
るような説明が書かれていました。ただ残念ながら、数学を知らない人にとっ
ては、ちょっと分かりにくいようにも思いました。チャンスがあったら取り上
げたい話題の１つです。少なくとも私は、おお！と感動してしまいました。
『博士の愛した数式』（小川洋子）
『世にも美しい数学入門』（藤原正彦/小川洋子）
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─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今回はすっきり収まったように思います。こんなに短いと、何だか手抜きを
したような気がして落ち着かないのは、貧乏性だからなんでしょうね（笑）
では、また金曜日に。
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