第0020号 tanの加法定理の覚え方
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0020号 (2006/04/17) ┃
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昨日（4月16日）情報処理技術者の試験を受けてきました。テクニカルエン
ジニアの情報セキュリティです。試験直前もほとんど勉強ができなかったので
結果は火を見るより明らかです（T_T）さきほど解答速報を確認しました。午
前がぴったり６割でした。この時点で終わったな、という感じですね（笑）来
年また頑張ります！
──Contents─────────────────────────────
１．tanの加法定理の覚え方
２．Σの公式（その１）
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１．tanの加法定理の覚え方
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第19号でtanの加法定理を導きました。さてtanの加法定理を覚えていますで
しょうか？前号では私なりの「覚え方」は、あえて書きませんでした。あなた
自身が覚えやすい方法を、自分で見つけてほしいと思ったからです。ですから、
自分で見つけるからいいよ！という方は、この先は読み飛ばしてください。ち
ょっと参考にしてみようかな、と思う方は、試しに読んでみてください。
第18号で紹介したtanの公式もそうでしたが、正直なところ、私はtanの加法
定理をきちんとは覚えていません。覚えているのは、
(1) 分数になっていたこと
（tanとsin、cosの関係式が分数だから、と関連させて覚えています）
(2) パーツは1、tanα、tanβ
(3) tanα、tanβについては足したもの、引いたものと掛けたもの
→つまり、tanα+tanβ or tanα-tanβ と tanαtanβ
(4) 分母と分子の項は２つずつ
これだけ覚えていれば、式を「思い出す」ことはそう難しいことではありま
せん。(2)〜(4)から分母と分子は
tanα+tanβ or tanα-tanβ と 1+tanαtanβ or 1-tanαtanβ
だと分かります。あとはこの組み合わせがどうなっているか？です。分母はど
れ分子はどれか？この手の分数の形になる公式などは、大体は覚えていても、
分母と分子、どっちがどっちだか分からなくなったり、不安になったりするも
のなんですよね。。。そこで、第19号でtanの加法定理を導いたことが効いて
くるのです！どのように導きましたっけ？あらすじだけでいいですから思い出
してください。
そうですね。まずtan(α+β)をsin(α+β)、cos(α+β)で表し、次にsin、
cosの加法定理を使って変形をしたんでしたね。そして、肝心なのは、もう一
度tanに戻すために、cosαcosβで分母と分子を割りました。これだけ覚えて
いれば十分です。
tanとsin、cosの関係式では、
分子…sin、分母…cos
でした。ということは、tan(α+β)をsin、cosで表すと、
分子…sin(α+β)、分母…cos(α+β)
となります。では、分母から考えます。cos(α+β)を加法定理で分解すると、
真ん中の符号は何でしたっけ？そうです、「サンドイッチ」で、内側は「−」
でした。そして、cos(α+β)の最初の項は、cosαcosβです。これを、上で書
いたように、cosαcosβで割ると、、、1ですよね！
と、いうことで、分母の出だしは、「１−」だということを思い出します。
そうすると、（項は２つだけですから）自ずと分母は
1- tanαtanβ
となります。では、分子は？…分母がtanαとtanβの掛け算なんですから、分
子は足し算か引き算のどちらかです。
で、sin(α+β)の加法定理の真ん中の符号です。はい。「＋」でした。と、
いうことは、分子は
tanα + tanβ
に決定！（笑）よって、次のtan(α+β)の加法定理の完成です。
【tan(α+β)の加法定理】
tanα + tanβ
tan(α+β) = ────────
1 - tanαtanβ
tan(α-β)についても同様に考えると、次の式が作れますが、tan(α+β)の
式を覚えていれば、違うのは符号だけですから、そこだけピンポイントで確認
すればＯＫです。
【tan(α-β)の加法定理】
sin(α-β)の真ん中の符号がマイナスだから、ここがマイナス
↓
tanα - tanβ
tan(α-β) = ────────
1 + tanαtanβ
↑
cos(α-β)の真ん中の符号がプラスだから、ここがプラス
今回の話は、あくまでも覚え方（思い出し方？）ですから、なぜこういう式
になるのかの説明ではありません。そこについては、前号での導き方を参照し
て下さい。また、分母と分子は符号が逆であることを覚えていれば、もう少し
ラクに思い出せると思います！
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２．Σの公式（その１）
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Σの公式は全部で５つ覚えてもらいます。今回は次の２つです。
(1) n
Σc = ？
k=1
(2) n
Σk = ？
k=1
(1)を前号でやったように、和の形に書き直してみます。
n
Σc = c + c + c + … + c
k=1 └───┬────┘
全部でn個
前回お話したΣの意味はここまででした。今回は、この結果がどうなるかを考
えよう、というのがテーマです。
同じ数を複数足すときに、あなたはどうしますか？たとえば、3を100個足し
なさい、と言われたら？3を100個実際に足しはしませんよね？どうやって計算
するか…。そうです、3×100=300と計算すると思います。同じ数を複数足すと
きには、掛け算を使えば簡単にその結果を求めることができます。
と、いうことで、
n
Σc = c + c + c + … + c = cn
k=1 └───┬────┘ ~~~~
全部でn個
となります。これを最初と終わりをくっつけて、「公式」にします。すなわち
n
Σc = cn
k=1
です。
ここで気をつけて欲しいのは、右辺が cn となったのは、Σとは関係ない、
ということです。つまり、Σのせいで c + c + c + … + c = cn となったの
かというと、違いますよね？「cをn個足したから」、「同じ数を繰り返し足す
ときには掛け算で計算できるから」、cとnを掛けてcnとなったわけです。
そりゃ元をただせば、Σがあったから足し算が出てきたわけで、何の関係も
ないと言ったらウソになりますが…（笑）
では、もう１つ。
n
Σk = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
k=1
こちらはどうでしょう。1 , 2 , 3 , 4 , … , n という数列は、初項1、公差
1の等差数列です。ですから、その和は「等差数列の和の公式」から、
n 1
Σk = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = ─n(n+1)
k=1 2
となるのです。ここで、「等差数列の和の公式」については、説明していませ
んので、もし分からなければ、ふ〜ん、そういうのがあるんだ、ぐらいに考え
て軽く流して下さい（笑）大事なのは、Σとは別の所に何らかの理屈があって、
それを使ったら、この公式が出てきたんだ、という事実を受け止めることなの
です。ただ、等差数列や等比数列の和の公式を導く過程には、大事なアイデア
が含まれていますので、それは別の機会に説明します。
さて、まとめです。今日はΣの公式を２つ紹介しました。これをしっかりと
覚えてください。これは何も見ないで書けるように練習してください。もちろ
ん、Σの部分からです！そして、Σは足し算をしているんだ、ということを頭
に思い浮かべながら、Σの式を書いてください。（これは、私が今まで見てき
たどの教科書・参考書にも書いていませんでしたね）つまり、自分の頭の中に
Σは足し算、というイメージを定着させるのです。これは意外と大事なことな
ので、ぜひやってみてください！
【Σの公式（その１）】
(1) n
Σc = cn
k=1
(2) n 1
Σk = ─n(n+1)
k=1 2
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