第0017号 三角関数の基本
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0017号 (2006/04/10) ┃
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次の日曜日（4月16日）に情報処理技術者の試験を受けます。その勉強もし
なければなりませんが、まずはこのメルマガを発行しなければ！と頑張ってお
ります。現実逃避というウワサもありますが（笑）
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三角関数の基本
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三角関数の基本として、まずは定義および基本公式を覚えておいてください。
【定義】
座標平面上の原点を中心とする半径rの円上の点（x,y）に対して、sinθ、
cosθ、tanθを次のように定めます。
ちょっと分かりづらいと思いますので、ブログに図を載せておきます。下の
URLをクリックしてご確認ください。
y x y
sinθ=── cosθ=── tanθ=──
r r x
図はこちら
→ http://smi-teacher.seesaa.net/article/16388616.html
定義を覚えることと同時に、押さえておいて欲しいのは、
☆x、yは点の座標だから、位置によって符号は変わる
☆rは半径なので、常にプラス
です。これらを使うことによって、θが第何象限の角かで、三角関数の値の符
号がどう変わるかが把握しやすくなります。
【基本公式】
前号でも使いましたが、あらためて基本公式を２つ載せておきます。
(1) sin^2 θ+ cos^2 θ=1 ←前号で使ったのはこれ
(2) sinθ
tanθ=───
cosθ
【証明】
(1) 左辺にsinθとcosθの定義の式を代入すると、
左辺=sin^2 θ+ cos^2 θ
y x
= ( ── )^2 + ( ── )^2
r r
y^2 x^2
=── + ──
r^2 r^2
y^2 + x^2
=────── …（イ）
r^2
ここで、点(x,y)と原点との距離が半径rに等しいわけですから、
y^2 + x^2 = r^2 …（ロ）
（x^2 + y^2 = r^2 の方が見やすいかもしれませんね）
という式が成り立ちます。（ロ）を（イ）に代入すると、
y^2 + x^2 r^2
────── = ── = 1 …（ハ）
r^2 r^2
（イ）と（ハ）をつなげると、
sin^2 θ+ cos^2 θ=1
が導けました。
(2) これは右辺に定義の式を代入します。
y
──
sinθ r
─── = ─── …（ニ）
cosθ x
──
r
さあ、分数の中に分数が出てきました。イヤですねぇ（笑）何がイヤなんで
しょうか？いや、だから分数の中に分数があるから、、、分数を整数に変え
る必殺技がありましたね。そう、分母を払う、というヤツです。でも、安易
に分母を払うと値が変わってしまうから、ダメだと習ったと思います。その
通りです！ですが、分数にはスバラシイ性質があるのです。それは、
分数の分母と分子に同じ数を掛けても同じ数で割っても値は変わらない！
ということです。そこで、（ニ）の分母と分子の両方にrを掛けると、
y
──・r
r y
──── = ── = tanθ …（ホ）
x x
──・r
r
となります。（ニ）と（ホ）をつなげると、
sinθ
tanθ=───
cosθ
が導けました。
【証明終了】
以上の証明は、基本的なものですので、自分でも導けるようになってくださ
い。もちろん、基本公式ですから、確実に覚えておかなければなりませんが、
自分で導けたという自信は、記憶にも今後の学習にも大きく影響しますので、
ぜひトライして、できるようになってください。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今日は始業式でした。いよいよ新年度のスタートです。私のクラスは、全員
出席でした！ちなみに担任しているクラスは文系です。私のいる学校は、理系
の生徒が少ないんですよね…。だから理系の教員でも文系クラスの担任をしな
ければならないのです（T_T）
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