第0016号 加法定理の利用（２倍角の公式）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0016号 (2006/04/07) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いて、ちょっとしたヒントをお届けします。しばらく、月・水・金の配信でや
ってみようと思います。
合言葉は、
☆少なく覚えて、とことん使う！
☆センスは身につくもの！
です！
──Contents─────────────────────────────
１．２倍角の公式
２．加法定理の練習問題
３．読者からの声♪
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１．２倍角の公式
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三角関数の２倍角の公式を、加法定理を使って導いてみたいと思います。そ
の前に、加法定理の式をちゃんと覚えていますか？では、思い出してみてくだ
さい。
sin(α+β)=
sin(α-β)=
cos(α+β)=
cos(α-β)=
覚えていましたか？
では、加法定理の式を書いておきます。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
間違って覚えていませんでしたか？間違って覚えてしまうとアウトですから
気をつけてくださいね。
さて、２倍角の公式というのは、以下のようなものです。
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2 α-sin^2 α
=2cos^2 α -1
=1-2sin^2 α
cos2αの公式については、３種類の式があり、ちょっと戸惑うトコロだと思
います。基本としては
cos2α=cos^2 α-sin^2 α
を１つ覚えておいてください。
導き方は、sin、cosいずれも同様の方法で、
2α=α+α
と考えて、加法定理を使うというものです。では、実際にやってみましょう。
【sinの２倍角の公式】
sin2α=sin(α+α)
=sinαcosα+cosαsinα
=2sinαcosα
【cosの２倍角の公式】
cos2α=cos(α+α)
=cosαcosα-sinαsinα
=cos^2 α-sin^2 α …(1)
cos2αの公式については、(1)の式をさらに変形することが可能です。三角
関数では最重要とも言える基本公式の１つである、
sin^2 α+cos^2 α=1
を変形すると、
sin^2 α=1-cos^2 α …(2)
cos^2 α=1-sin^2 α …(3)
となります。これらを(1)の式に代入すればＯＫです。まず、(2)を(1)に代入
してみましょう。
cos2α=cos^2 α-(1-cos^2 α)
=cos^2 α-1+cos^2 α
=2cos^2 α-1 …(4)
次に、(3)を(1)に代入してみましょう。
cos2α=(1-sin^2 α)-sin^2 α
=1-sin^2 α-sin^2 α
=1-2sin^2 α …(5)
このように、cos2αを変形する式は、３パターンあるわけです。あとは、そ
れぞれの使い分けが気になるところですが、それは問題によって変わります。
つまり、cos、sinが交ざった式が必要あるいは2乗マイナス2乗がうまく使えそ
うな問題であれば(1)の式を使います。cosで統一した式にしたいときには(4)
の式を、sinで統一したいときには(5)の式を、というように状況に応じて使い
分けていけばいいのです。あとは、実際に問題に接して慣れていきましょう。
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２．加法定理の練習問題
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加法定理を使って三角関数の値を求める問題を練習してみましょう。
【練習問題】
(1) sin75°
(2) cos15°
(3) sin15°
(4) cos105°
いつものように解答は一番下にあります。
＜ヒント＞
以下は一例です。他の変形の仕方も当然考えられます。
(1) sin75°=sin(30°+45°)
(2) cos15°=cos(45°-30°)
(3) sin15°=sin(45°-30°)
(4) cos105°=cos(45°+60°)
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３．読者からの声♪
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『数学マスターへの道』をご購読いただいている読者の方から頂いた感想を
ご紹介させていただきます。
現在予備校で生物を教えていらっしゃるというMさんから頂いたメールです。
ご本人に了承いただけましたので、掲載いたします。
「加法定理の覚え方、目からウロコでした。
こうやって覚えるといいんですね。
わたしが一番すごいと思ったのは、
”符号のサンドイッチ”です。
たしかに、一番混乱するのは、
符号だと思います。
これをきちんと覚えるために
”符号のサンドイッチ”ですね。
昨日まで、加法定理はすっかりと忘れていましたが、
今日、ちゃんと覚えることができたと思います。」
お礼と読者からの声としての掲載をお願いするメールを送りましたところ、
こころよく承諾してくださった上に、
「ほんとに、昨日５分くらいメルマガを眺めていて、
さっきまで覚えていたので、
この覚え方は多分完璧です。
すばらしいです。」
とも言っていただけました。
ここまで褒められると、とても照れくさいのですが、私自身がなかなか加法
定理を覚えることができず、教員になってから、どうやったら忘れずに覚える
ことができるだろうか？と考えてあみ出しました（笑）ので、大変嬉しく思っ
ています。
メルマガ『数学マスターへの道』に対して、ご感想などいただけましたら、
大変ありがたく思います。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
新年度の準備に忙しく、今日のメルマガの発行が予定よりも遅れてしまいま
した。（一応17:00配信を目指しています。^^；）
いよいよ来週から新年度が始まります。今度は３年の担任になりましたので、
何かと忙しいだろうなぁ、と今からビビッてます（笑）
テキスト形式で複雑な式を配信するのは、なかなか難しいです（T_T）読み
にくいところ、分かりにくいところなどあるかと思いますが、どうかご容赦く
ださい。m(_ _)m
─…───…───…───…───…───…───…───…───…─
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【練習問題の解答】
(1) sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45°
1 1 √3 1
=─・── ＋ ──・──
2 √2 2 √2
1 √3
=── ＋ ──
2√2 2√2
1+ √3
=────
2√2
√2+√6
=────
4
(2) cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°
1 √3 1 1
=──・── ＋ ──・─
√2 2 √2 2
√3 1
=── ＋ ──
2√2 2√2
√3+1
=────
2√2
√6+√2
=────
4
(3) sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
1 √3 1 1
=──・── − ──・─
√2 2 √2 2
√3 1
=── − ──
2√2 2√2
√3-1
=────
2√2
√6-√2
=────
4
(4) cos105°=cos(45°+60°)
=cos45°cos60°-sin45°sin60°
1 1 1 √3
=──・─ − ──・──
√2 2 √2 2
1 √3
=── − ──
2√2 2√2
1-√3
=────
2√2
√2-√6
=────
4
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