第0015号 加法定理の覚え方
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0015号 (2006/04/05) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いて、ちょっとしたヒントをお届けしています。今週から、月・水・金の配信
にチャレンジしてみようと思っています。やや無謀かなとも思いますが（笑）、
その理由については編集後記に書きました。
合言葉は、
☆少なく覚えて、とことん使う！
☆センスは身につくもの！
です！
──Contents─────────────────────────────
１．加法定理の覚え方
２．たすきがけの練習問題
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１．加法定理の覚え方
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三角関数そのものの基礎は、図がなければ理解は難しいので、このメルマガ
では、図なしで考えられるものについてだけ取り扱うことにします。今回の加
法定理の覚え方もその１つです。加法定理の証明は、やはり図がないと理解す
るのは困難です（図があっても難しいです）から、なぜこれが成り立つのかの
説明は省きます。
さて、問題の加法定理ですが、以下のとおりです。
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
この４つの式を確実に覚えるようにしてください。これをもとにして数多く
の公式が作り出されるのですから！私は、生徒に教えるときには（特に理系の
生徒には）、いつ聞かれても答えられるように！と言っています。廊下ですれ
違ったときに、「cos(α+β)は？」と聞かれたら、「cosαcosβ-sinαsinβ」
と即座に答えられるようにすること！、と（笑）もちろんこれはジョークです
が、それぐらいの心構えで覚えてほしいということです。
しかし、気構えだけではやはり忘れてしまう危険性が大いにあります。以前
にも書きましたが、私はこの加法定理がなかなか覚えられず苦労しました。語
呂合わせで覚えるという手もありますが、私はそれでもダメでした。なぜ覚え
にくいか？覚えたはずなのに、あとで不安になるのか？それは、式が非常に似
通っているからです。結局は、sinとcosの組み合わせで式が構成されているの
で、時間が経ったときに「あれ？どっちだっけかな？」と不安になってしまう
のです。
そこで、私はこの「似通っている」という覚えにくさの原因を逆手に取るこ
とにしました。つまり、同じものが繰り返し使われているなら、そこには何か
規則性があるのではないか？それを見つければ、覚えられるのではないか？と
いうことです。
さあ、そういった目でもう一度上の式を見てください。ポイントは１つずつ
見るのではなく、４つを並べて見て、そこにある特徴をつかむことです。
どうですか？特徴が見えてきましたか？ここも練習ですから、私の「答え」
を読む前に、自分で考えてみてくださいね。
では、私なりの「答え」を書きます。別にこれに限ったものではありません
ので、これ以外は不正解ということではありません。もっといいものが見つか
ったら私にも教えてくださいね（笑）
まず左辺ですが、ここを見ない人がけっこういます。上からsin、sin、cos、
cosと並んでいることを確認してください。その上で、角度の部分ですが、α
とβの足し算と引き算が交互に並んでいます。つまり、上からα+β、α-β、
α+β、α-βという感じです。これらのことを確認した上で、紙に次のように
書いていってください。見て確認するだけでなく、できれば実際に紙に書いた
方が実感としてよく分かると思います。
sin(α+β)=
sin(α-β)=
cos(α+β)=
cos(α-β)=
次に、右辺です。まずは、符号をチェックしましょう。そして式の構造です。
すべて「○△+□▽」というような形になっていますね？それを踏まえた上で
符号を見ると、外側にあるものが＋で、内側にあるものが−ですね。つまり、
sin(α+β)= +
sin(α-β)= -
cos(α+β)= -
cos(α-β)= +
となっています。私は、これを符号のサンドイッチと呼んでいます。-がハム
みたいに見えたものですから（笑）もちろん特徴さえつかめば、どのように覚
えてもらっても構いません。
次はsin、cosの並びです。ここも一番左の式を見てください。どう並んでい
ますか？そうですね。左辺のsin、cosの並びと一致しています。だから、こう
覚えます。「sinの加法定理はsinで始まり、cosの加法定理はcosで始まる。」
角度については、横に見るとどの式もα、β、α、βの順に並んでいますね。
さて、問題は左から２番目です。実はここがカギなのです。ここを間違えると
すべて崩れてしまいます。
ここは、sin(α+β)の式に焦点を絞って覚えましょう。sinの式では、２番
目に来ているのは、cosです。これをしっかりと覚えます。そして、よく見る
と、cosの式も左から２番目はcosです。つまり、そこは縦一列全部cosなので
す。映像として焼き付けておくのもいいかと思います。
sin(α+β)=sinαcosβ+ α β まずはココをしっかりと！
~~~~~
sin(α-β)=sinα β- α β
cos(α+β)=cosα β- α β
cos(α-β)=cosα β+ α β
↓ ↓ ↓ 左から２番目は縦一列同じだから
sin(α+β)=sinαcosβ+ α β
sin(α-β)=sinαcosβ- α β
cos(α+β)=cosαcosβ- α β
cos(α-β)=cosαcosβ+ α β
だいぶ出来てきましたね。最後の仕上げです。符号の後のsin、cosを入れれ
ば完成です。ここは、符号の左側でsinだったところはcosに、cosだったとこ
ろはsinにすればいいのです。つまり、
┌────┐
│ ↓
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
│ ↑
└────┘
という感じです。これを他のものにも、適用すると、
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
という加法定理の式の出来上がりです！最初のうちはこのように、４つをセッ
トにして、しっかりと覚えるようにしましょう。ある程度頭に入ってきたら、
今度は単独の式だけで思い出せるように練習しましょう。
ここまで、だいぶ長く書きましたが、高校生だと、大体20分でほとんどの生
徒が単独の式でも答えられるようになります。あとは、忘れないようにするだ
けです。覚えたては、２〜３時間後にもう一度、そこでちゃんと覚えていれば、
次は翌日、その後は一日おきくらいに思い出すようにしましょう。これを１〜
２週間やれば、けっこう定着すると思います。まあ、問題を解きながら使って
いくのが一番だとは思いますが。
それでも忘れそうだと思ったら、理屈を使って強化しましょう。前にやった
方法ですね。これはこれで、保険にもなりますし、また理屈を考えることの練
習にもなります。覚えるときのポイントは、先ほども書いたように、２番目が
sinかcosかを間違えないことですから、この部分に焦点を当てます。
もし、ここを間違えたとしましょう。すなわち
sin(α+β)=sinαsinβ+cosαcosβ
sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ
cos(α+β)=cosαsinβ-sinαcosβ
cos(α-β)=cosαsinβ+sinαcosβ
としてしまった場合、cos(α-β)の式でβをαで置き換えてみます。そうする
と次のようになります。
cos(α-α)=cosαsinα-sinαcosα
└─┐ ┌──┘
↓ ↓
cos0 = 0
これは、cos0=1に反しますので、オカシイということになるわけです。これ以
外でも、矛盾が生じる場合があります。ただ、これはあくまでも保険であり、
これですべて通せるわけではありません。特徴をつかんでしっかりと覚えてお
くことはやはり必要ですから、頑張って覚えるようにしてください。
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２．たすきがけの練習問題
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前号までで説明した「たすきがけ」による因数分解をもう少し練習しておき
ましょう。
【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) 2x^2+x-6
(2) 6x^2-17x+12
(3) 3x^2+14x+8
(4) 6x^2-11x-2
いつも言っていますように、練習が大切ですから、苦手な人は必ず自分でや
ってみてくださいね。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今回お送りした「加法定理の覚え方」を前号で配信しようと思っていたので
す。前回の内容にプラスしてこれでは、いくらなんでも重過ぎますよね（笑）
途中で、もうお腹イッパイ（＞_＜）という感じになると思います。なので、
複数回に分けようと思ったのです。
次号では、三角関数の公式を加法定理を使って導いてみたいと思います。ま
ずは、簡単なところからいこうと思っていますので、ご安心を（笑）因数分解
の続きも回をあらためて、またお送りします。
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【練習問題の解答】
(1) (x+2)(2x-3)
(2) (2x-3)(3x-4)
(3) (x+4)(3x+2)
(4) (6x+1)(x-2)
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