第0014号 因数分解（その３）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0014号 (2006/04/03) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いて、ちょっとしたヒントをお届けしています。今週から、月・水・金の配信
にチャレンジしてみようと思っています。やや無謀かなとも思いますが（笑）、
その理由については編集後記に書きました。
合言葉は、
☆少なく覚えて、とことん使う！
☆センスは身につくもの！
です！
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たすきがけによる因数分解（その２）
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前号で「たすきがけ」による因数分解の方法の説明と、例題を１つ説明しま
した。今回は、別の例題をやってみることにしましょう。
(例題2) 3x^2-8x+4 を因数分解してください。
│ └─────────────┐
└──┐ │
↓ ↓
まず、掛けて3になるのは、1と3ですね。掛けて4になるのは、1と4か2と2で
す。では、これらを「たすきがけ」してみましょう。
前号でお話した「見通し」を使って、トライの数を減らしてやっていきます。
1 4
×
3 1
この組み合せは、3×4=12なので、却下。この辺の事情は、第13号をお読みく
ださい。
【トライ１】
1 1 →3 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 4 →4 ─┤
───────── │
7 ←┘
~~~ xの係数の-8と違うので、【失敗！】
【トライ２】
1 2 →6 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 2 →2 ─┤
───────── │
8 ←┘
~~~ xの係数の-8と違うので、【失敗！】
ん？ちょっと待ってください！【トライ２】は確かに-8とはなっていません
が、違うのは符号だけです。このように、符号だけが違う場合には、右側の組
の２つの数両方の符号を変えてください。両方とも符号を変えれば、掛け合わ
せたた結果は変わりませんから大丈夫です。つまり
2×2=4
↓
(-2)×(-2)=4
です。マイナス×マイナスがプラスになる話は、前号の２で書きましたよね？
こんなトコにも出てきました（笑）
【トライ３】
1 -2 →-6 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 -2 →-2 ─┤
───────── │
-8 ←┘
~~~ xの係数の-8と一致したので、【成功！】
以上より
3x^2-8x+4=(x-2)(3x-2)
~~~~~~~~~~~
と因数分解できました。
ここで使った、符号だけが違う場合には、全部の符号を逆にして調整する、
という技は覚えておいてください。ただ、例題1・2のようなパターンでは、慣
れてきたら、
定数の項がプラスのときには、同符号
xの係数がプラス →プラスとプラス
マイナス→マイナスとマイナス
と考えれば早いと思います。これも丸暗記ではなく、なぜこうやって良いのか
をきちんと理解するようにしてください。その上で覚えるようにしてください。
「理解して、覚える」です。
(例題3) 2x^2-5x-3 を因数分解してください。
│ └──────────────┐
└──┐ │
↓ ↓
まず、掛けて2になるのは、1と2ですね。掛けて-3になるのは、、、掛けて
マイナスになっているわけですから、異符号の数です。またまた登場、前号の
２で書いたように、掛けた結果の符号は後で考えればいいわけですから、まず
掛けて3になる数を考えます。これは悩まず、1と3です。次に符号です。異符
号ということは、どちらか一方にマイナスをつければいいということになりま
す。ここで、どっちにつけたらいいんだろう？と悩んでしまう人がいます。あ
なたもそうですか？
実は、ここで悩む必要はないのです。上に書いたように「たすきがけ」をし
た結果、符号だけが違っていたら、２つの数の符号を両方とも変えればいいの
です。もう少し簡単に言えば、符号を付け替えればいいのです。百聞は一見に
しかず、ですから、実際にやってみましょう。
【トライ１】
1 -1 →-2 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
2 3 → 3 ─┤
───────── │
1 ←┘
~~~ xの係数の-5と違うので、【失敗！】
【トライ２】
1 3 → 6 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
2 -1 →-1 ─┤
───────── │
5 ←┘
~~~ xの係数の-5と符号だけ違う、【チャンス！】
ここで、「たすきがけ」の結果がxの係数の-5とは符号だけが違っているわ
けですから、3と-1の符号を付け替えればいいのです。
【トライ３】
1 -3 →-6 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
2 1 → 1 ─┤
───────── │
-5 ←┘
~~~ xの係数の-5と一致、【成功！】
したがって、正解は
2x^2-5x-3=(x-3)(2x+1)
~~~~~~~~~~~
です。
このように、「たすきがけ」で因数分解するときには、xの係数は最後にチ
ェック＆符号の調整をすればいいのです。気を配るのは、x^2の係数と定数項
です。xの係数にあまり意識がいってしまっていると、次のような間違いをし
てしまう危険性があります。
【誤答例】
1 -1 →-2 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
2 -3 →-3 ─┤
───────── │
-5 ←┘
~~~ xの係数の-5と一致、【でも間違い！】
何がいけないのか分かりますか？そうですね。右側の数、-1と-3を掛けると
3となってしまいます。定数項は-3ですから、これではマズイわけです。あり
がちな間違いなので、気をつけてくださいね。
今回も練習問題をつけておきます。正解は前回と同じように、一番下の部分
に書いてあります。
【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) 3x^2-7x+4
(2) 2x^2-x-6
(3) 6x^2-x-2
(4) 4x^2+4x-15
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
前号で、「長くなっても仕方がないとアキラメました」と書きましたが、内
容があっても、あまり長いとやはり読むのが大変だ、というご指摘を受けまし
た。全くその通りだと思います。そこで、回数を増やしてみようか、と。それ
でも今回はこの長さになってしまいました（T_T）
実は、最初に書いたときには、２つ目の話題が１とほぼ同じ長さのものにな
ってしまったのです。さすがにこれは長いだろう、と思った次第で（笑）思い
切って回数を増やす方向で考えました。
オススメのものは、いいなと感じたものは紹介します。pdfなどのレポート
は、原則「無料」のものしか書かないつもりでいます。普通の書籍などは、無
料のものは基本的にありませんから、有料のものでも良さそうなものはご紹介
したいと思います。もちろん、自分で読んで良かったと思うもの以外は、書く
つもりはありません。今後とも宜しくお願いいたします。
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【練習問題の解答】
(1) (3x+1)(x+3)
(2) (2x+3)(x+2)
(3) (2x+3)(3x+2)
(4) (4x+3)(x+2)
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