第0013号 因数分解（その２）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0013号 (2006/03/30) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いて、ちょっとしたヒントを毎週月・木にお届けします。
合言葉は、
☆少なく覚えて、とことん使う！
☆センスは身につくもの！
です！
──Contents─────────────────────────────
１．たすきがけによる因数分解
２．マイナス×マイナスはなぜプラス？
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１．たすきがけによる因数分解
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【たすきがけの公式】
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)
「たすきがけ」は次のような手順でやっていきます。
○x^2+☆x+△
│ └──────────────┐
└─────┐ │
↓ ↓
(イ)まず掛けて○になる２つの数の組、掛けて△になる２つの数の組を考え
ます。ここでは、a×c=○、b×d=△とします。
(ロ)このa、c、b、dを下のように並べて、対角線上のaとd、bとcを掛け合わ
せて足します。
a b →bc ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
c d →ad ─┤
───────── │
ad+bc ←┘
~~~~~
(ハ)こうして得られたad+bcがxの係数の☆と一致すればＯＫ！一致しなけれ
ば、また違う数の組を考えて、同じ作業を繰り返します。
(ニ)ad+bcが☆と一致したら、今度は横に見て、aとb、cとdの組を作り、
ax+b、cx+d
という式を作ります。これを掛け合わせれば、因数分解の出来上がりで
す。すなわち、
○x^2+☆x+△=(ax+b)(cx+d)
となります。
以上が、「たすきがけ」の手順ですが、上の対角線上の数同士を掛けている部
分が、まるで「たすき」をかけているように見えるので、「たすきがけ」と呼
んでいるのです。ただ、今の高校生にとっては「たすき」は、せいぜい駅伝で
バトン代わりに使うもの、ぐらいにしか思っていないかもしれません。そうす
ると、これを何故「たすきがけ」と呼ぶのか分からないでしょうね（苦笑）
実際にはいろいろなパターンがありますので、練習を繰り返してできるよう
になるものです。では、具体的な問題を見てみましょう。
(例題1) 3x^2+11x+6 を因数分解してください。
│ └─────────────┐
└──┐ │
↓ ↓
まず、掛けて3になるのは、1と3ですね。掛けて6になるのは、1と6か2と3で
す。では、これらを「たすきがけ」してみましょう。
x^2の係数の方は1と3の組しかありませんので、これで決まりです。定数の
項は1と6、2と3の組の２つが考えられますので、まずは1と6の組でやってみま
す。
【トライ１】
1 1 →3 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 6 →6 ─┤
───────── │
9 ←┘
~~~ xの係数の11と違うので、【失敗！】
【トライ２】
1 6 →18 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 1 →1 ─┤
───────── │
19 ←┘
~~~ xの係数の11と違うので、【失敗！】
1と6の組ではうまくいかなかったので、次は2と3の組でやってみます。
【トライ３】
1 2 →6 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 3 →1 ─┤
───────── │
7 ←┘
~~~ xの係数の11と違うので、【失敗！】
【トライ４】
1 3 →9 ─┐
＼ ／ │
× │
／ ＼ │足す
3 2 →2 ─┤
───────── │
11 ←┘
~~~ xの係数の11と一致したので、【成功！】
ようやく４度目のトライでxの係数の11になる組み合せが見つかりました！
こうやって見つけたものを、横に見て、
1x+3、3x+2
の２つの式を作ります。おっと、1xの1は省略するのが普通ですね。よって、
3x^2+11x+6=(x+3)(3x+2)
~~~~~~~~~~~
と因数分解できました。これで完了です！もちろん、左右の( )の順番を入れ
替えた
3x^2+11x+6=(3x+2)(x+3)
~~~~~~~~~~~
でも正解です！
だいぶ長々と書いてしまいましたが、教科書では普通、失敗した例は書きま
せん。参考書などでも、たぶん書いていないと思います。失敗を書くだけで、
だいぶスペースを使ってしまいますからね（笑）ただ、成功した例だけを書く
と、どうしてその組み合せがでてきたのかが分からないんですよね。実際には
正解を見つけ出すまでに、あれこれと試行錯誤を繰り返しているのに、それが
伝わらないんです。これは大きな欠点だと思うのですが、やはりその部分を教
員が補うということになるのでしょう。にもかかわらず、教員が教科書と同じ
説明しかしなかったらサイアクですよね（＞_＜）
さて、試行錯誤を繰り返す必要があると書きましたが、やっぱりチェックす
る回数が減らせるならそれに越したことはないですよね。この回数を減らす、
ちょっとしたコツを紹介します。
そのためには、因数分解の手順について説明しなければならないのですが、
ここでは、関係する事柄を１つだけ書いておきます。これは因数分解をしよう
と考えたときに、まず一番最初にチェックすべき事柄です。それは、
共通因数があるかどうか？
です。何はともあれ、まずは共通因数を最初にチェックしてください。で、こ
の例題1では、、、
文字は…x^2、x、xなし
係数は…3、11、6
ですから、すべての項に共通の因数はありません。←ここが重要です！！
例題1について「共通因数はない」、これを頭に入れた上で、もう一度【ト
ライ１】と【トライ３】を見てください。最終的には「たすきがけ」で並べた
数を横に見て式を作るということでしたよね？もし、これらが正解だとしたら
どうなるでしょうか？
【トライ１】x+1、3x+6
~~~~
【トライ３】x+2、3x+3
~~~~
いずれも右側の式で、3が共通因数となっています。元々の式で共通因数がな
かったのに、因数分解したら共通因数が出てくるなんておかしいですよね？だ
から、【トライ１】と【トライ３】は計算してみるまでもなく、違うと分かる
わけです！このようなチェックが事前にできるようになると、随分チェックす
る回数を減らすことができます。あとは、【トライ２】などは共通因数は出て
きませんが、すべての係数がプラスだということ、3×6=18を計算した時点でx
の係数の11を超えていること、の２つを考えるとこれも「あり得ない」ことが
分かります。とすると、【トライ４】以外には考えられないわけで、きっとこ
の組み合せだろうと当たりをつけてやってみると、これがうまくいったりする
わけです（笑）
このように見通しが立てられるようになって、しかも最初にトライしたもの
が正解だったりすると、気持ちイイんですよね（笑）今回の例題1は最も簡単
なパターンですので、これぐらいは大丈夫！という人も多いかと思います。次
号では、違うパターンの例題2、例題3を説明したいと思います。最後に今日の
例題と同じパターンの練習問題をつけておきますので、やってみてください。
正解はこのメルマガの一番下に載せておきます。
【練習問題】次の式を因数分解してください。
(1) 3x^2+10x+3
(2) 2x^2+7x+6
(3) 6x^2+13x+6
(4) 4x^2+11x+6
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２．マイナス×マイナスはなぜプラス？
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ブログにも書いたのですが、3月27日発売のAERAの記事の中に、子どもがつ
まづくポイントということで、「マイナス×マイナスはなぜプラスか」を取り
上げています。これについて、何人かの先生の教え方が載っています。私だっ
たらどう教えるか、について書いていきます。
今回は、整数×整数に限定します。
まずは、正の整数×正の整数です。
3×1=3
問題ないですよね？ここで、右側の数（通称「掛ける数」です）を1ずつ増や
すとどうなるでしょうか？
3×1=3 ─┐
│ +3
3×2=6 ←┘
─┐
│ +3
3×3=9 ←┘
─┐
│ +3
3×4=12 ←┘
計算結果は（左側の数の）3ずつ増えていきます。これは、
3×2=3+3 ←3×2と3を2つ足すのは同じ結果になる
3×3=3+3+3 ←3×3と3を3つ足すのは同じ結果になる
3×4=3+3+3+3 ←3×4と3を4つ足すのは同じ結果になる
という、掛け算の一番最初の考えに戻ると明らかだと思います。要するに掛け
る数が1増えるということは、1つ多く足すということと同じなわけですから。
さて、今は掛ける数を1ずつ増やしていきましたが、逆に減らしていくとど
うなるでしょうか？
3×4=12 ─┐
│ -3
3×3=9 ←┘
─┐
│ -3
3×2=6 ←┘
─┐
│ -3
3×1=3 ←┘
このように、今度は3ずつ減っていくことになります。これを、さらに続けた
としたら、掛ける数が1ずつさらに減るわけですから、
3×1=3
3×0=0
3×(-1)=?
3×(-2)=?
3×(-3)=?
となっていくわけです。上の流れから考えて、正の数×負の数について、どう
「決めればいいか？」と考えると、最も自然なのは、同じように結果を3ずつ
減らしていって、
3× 1 =3 ─┐
│ -3
3× 0 =0 ←┘
─┐
│ -3
3×(-1)=-3 ←┘
─┐
│ -3
3×(-2)=-6 ←┘
─┐
│ -3
3×(-3)=-9 ←┘
とするのが良さそうだということが分かります。そこで、正の数×負の数を次
のように決めます。
2つの数の絶対値同士を掛けて、符号はマイナス …(イ)
絶対値とは、数直線上での原点からの距離のことですから、常に0以上の値と
なります。要するにプラスの値はそのまま、マイナスの値は符号だけプラスに
変える、と覚えてください。したがって
3×(-5)
の結果は、
3×5=15
正の数×負の数だから符号はマイナス
ということから、
3×(-5)=-15
となるわけです。
では、負の数×正の数はどう考えればいいでしょうか？正の整数を掛けると
いうことは、上にも書いたように、同じ数をその分だけ足すことだ、と考えれ
ば、
(-3)×1=-3
(-3)×2=(-3)+(-3)=-6
(-3)×3=(-3)+(-3)+(-3)=-9
(-3)×4=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12
となりますので、こちらも(イ)と同じように決めて良さそうです。そして、こ
う決めることによって、掛け算の順番を入れ替えても結果は変わらないという、
交換法則も成り立つことになります。すなわち、
3×(-5)=(-5)×3=-15
となるわけです。
さあ、いよいよ問題の負の数×負の数を「どう決めるか」です。ただ、ここ
までくれば、最初と同じ方法で考えていけばいいんじゃないか？という見通し
が立ってきますよね？それでやっていくと、次のようになります。掛ける数を
1ずつ減らしていくと、今度は3ずつ増えていきますので、（-3ずつ減っていく
と考えれば、上と全く同じになります）
(-3)× 2 =-6 ─┐
│ +3 =-(-3)
(-3)× 1 =-3 ←┘
─┐
│ +3 =-(-3)
(-3)× 0 =0 ←┘
─┐
│ +3 =-(-3)
(-3)×(-1)=+3 ←┘
~~ ─┐
│ +3 =-(-3)
(-3)×(-2)=+6 ←┘
~~ ─┐
│ +3 =-(-3)
(-3)×(-3)=+9 ←┘
~~
とするのが自然です。（あえて＋の符号を残しておきました）このように考え
れば、マイナス×マイナスをプラスと決めるのが、他の事柄との関連から、最
も妥当だと言えると思います。この「他の事柄とつじつまが合うように」とい
うことは、数の拡張を行うときにとても重要な考え方となります。たとえば、
数学IIで学習する指数の拡張などは、ここでやっていることとほぼ同じことを
行って、指数を負の数にまで拡張していきます。つまり、同じアイデアや知識
を繰り返し使うという、このメルマガのモットーにつながるわけです。
さらに、上でやっているような計算は、実は「数列」でも同じようなことを
するのです。また「規則性を見つける」という非常に重要なセンスも、ここで
磨かれていくと思います。「センスは生まれつきではなく、磨くもの」という
のが私の信条です。「センス」＝「感覚」ですから！適切な方法で繰り返すこ
とにより、「感覚」は研ぎ澄まされていきます。つまり、いわゆる「センス」
が身についていくのです！
とはいえ、上の説明は非常に面倒くさいように感じるかもしれません。これ
は、すべてを文にして説明したからこうなってしまったのです。実際に授業な
どで教える（教わる）ときには、式を順番に書いて、次はどうなる？次はどう
なる？と考えながら進みますので、一方的に教えられるよりも理解しやすいと
思います。何より、自分で作っていく（決めていく）という感覚が残りますの
で、これは手応えとして、とても大きなものとなります。
私が見た中学の教科書では、速さ×時間＝距離を用いて説明しているものが
2社、上に近い形で説明しているものが1社という感じでした。上に近い形で説
明している教科書は、不思議なことに、「×負の数」の場合と「×正の数」の
場合で、違う説明の仕方をしていました。これではかえって混乱するだけなの
ではないか、と思ってしまいます。それくらいだったら、速さなどを使っての
説明の方がまだマシだと思います。
AERAに載っている方々の説明については、実際に買って読んでみてください。
いや、決して朝日新聞の回し者ではありませんよ（笑）立ち読みでもイイだな
んて言えないので。。。
私がここで述べた方法は、後にも生きてくるアイデアであり、感覚的にも納
得しやすいものであり、そしてささやかではあっても自分で数学を作っていく
楽しさを感じられるものではないかな、と思っています。ちょっと大きく出過
ぎましたかね（笑）分かりやすい！分かりにくいぞ！！など、感想をお寄せい
ただけると大変ありがたく思います。
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
毎度、「また長くなってしまいました」と書いてきましたが、あきらめまし
た。ある程度の内容を書こうとすれば、どうしてもこれぐらいの長さにはなっ
てしまいます。ですから、じっくり、時間のあるときに読んでいただければ幸
いです。
また、もう少し内容が増えてきて、まとめられるようになりましたら、再編
集してpdfファイルなどで配布できるようにしていきたいと考えています。
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現役高校数学教師が送る「数学マスターへの道」（毎週月・水・金発行）
発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/
配信中止はこちらから→ http://www.mag2.com/m/0000184672.html
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【練習問題の解答】
(1) (3x+1)(x+3)
(2) (2x+3)(x+2)
(3) (2x+3)(3x+2)
(4) (4x+3)(x+2)
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