第0011号 素因数分解と因数分解
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0011号 (2006/03/23) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いて、ちょっとしたヒントを毎週月・木にお届けします。
合言葉は、
☆少なく覚えて、とことん使う！
☆センスは身につくもの！
です！
──Contents─────────────────────────────
１．素因数分解と因数分解
２．無理数は無理な数？
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１．素因数分解と因数分解
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素因数分解は、昔は中学１年生で学習していましたが、現在の教育課程では、
中学３年生で学習することになっています。これは式の因数分解の前に素因数
分解を学習することで、素因数分解と因数分解の類似性を意識させようという
ことによります。
まず素因数分解についてですが、素因数分解とは、２以上の自然数を素数の
積で表そうというものです。これは、自然数がどのようにして作られるか、と
いうことと関係があります。つまり、自然数を「何か基準となる数」の「和」
で表そうとすれば、その「基準となる数」は「１」です。それを繰り返し足し
ていくことですべての自然数を作り出すことができます。言い換えれば、自然
数を「和」によって作り出そうとするときには、「１」を「単位」としてそれ
をもとにすればよい、ということになります。これが自然数の始まりと言えま
す。
2=1+1
3=1+1+1
4=1+1+1+1
…
といった感じです。
では、自然数を「積」によって表すにはどうすればよいでしょうか？「和」
のときと同じように、「１」を単位にしようと考えてみます。しかし、「１」
はいくら掛けても相手は変化しませんので、「１」を繰り返し掛けても、いつ
までたっても「１」のままです。そこでたとえば、「６」については、
6=2×3
となります。２と３は
2=2×1
3=3×1
以外に自然数の積で表すことはできません。先程も書きましたように、「１」
はいくら掛けても変わりませんから、２や３はこれ以上自然数の積に分解でき
ないと言えます。「分解＝より小さなものにバラす」というイメージを持って
もらえばいいと思います。こうして考えていきますと、たとえば12などは
12=3×4
というように３と４の積に直すことができますが、４はまだ２×２というよう
に、より小さな自然数の積に直すことができます。すなわち、
12=3×2×2
=2^2×3 ←素数の小さい方から並べると見やすくなります
とすることができます。このように、自然数をより小さな自然数の積によって
表そうとしたとき、その「もと」になる数というものがあることが分かります。
この「もと」になる数は、もうそれ以上小さな自然数の積に分解することので
きない自然数なのですが、これがいわゆる「素数」というものです。ですから、
最も小さな素数は「１」ではなく「２」なのです。
この素因数分解というのはちょうど、物質が何からできているのだろうか？
ということを考えるのと似ています。物質の素は何？と考えるのと同じように
「自然数」の「素」は何？と考えているのです。そして、これが累乗根やその
他の計算の場面でも使われることになるのです。
さて、一方の因数分解ですが、自然数を素数の積で表すのが「素因数分解」
でした。それに対して、「式」をなるべく簡単な式の「積」で表そうとするの
が、「因数分解」です。
よく、因数分解は「展開の逆」という説明がなされますが、これ自体は間違
いではありません。しかし、展開を学習した後で、たいていは展開を含む式の
計算の練習をすると思います。すなわち、
(x+y)^2-5xy
といったような計算です。これは (x+y)^2 を「展開」して、さらに「同類項
の計算」をするというものです。「展開」はあくまでも、分配法則を使って、
かっこを外し、かっこを外した部分で同類項があれば、それをまとめて簡単に
するというものです。このような計算をすると、どの状態になったら因数分解
したといえるのかが分からなくなったりします。たとえば、
x^2-xy-6y^2
という式を、
x^2-xy-6y^2=(x+2y)(x-3y)
というように x+2y と x-3y の積に直しているので、これは因数分解です。で
すが、
x^2-xy-6y^2=x(x-y)-6y^2
と前半部分だけxでくくったものは、全体を積で表しているわけではないので、
因数分解したとは言いません。部分的には x^2-xy を x(x-y) と因数分解して
いますが、-6y^2 が後ろについていますので、式全体を積で表したことにはな
りません。ですから、これは因数分解をしたとは言いません。
展開と因数分解の関係についてもう少し見てみます。
┌──┬┐
(x+y)^2=(x+y)(x+y)
└─┴┘
=x^2+xy+yx+y^2─┐
│yxは順番を入れ替えてxyとできる
=x^2+xy+xy+y^2←┘
~↓~~ 同類項をまとめる
=x^2+2xy+y^2
これが展開です。これを逆に x^2+2xy+y^2 と (x+y)^2 は等しいのだから、と
いうことで、
x^2+2xy+y^2=(x+y)^2
とするのが、因数分解です。あえて、かなりくどい書き方をしましたが、これ
を見るだけでも、因数分解の方がかなり強引というか、不自然な考えで変形を
しているのが分かると思います。途中の計算が多いと大変、少ないとラク、と
いう印象があるかもしれませんが、そうとは限らないということも分かるかと
思います。
「展開」はいざとなったら分配法則を使って計算すればいいのですから、何
とかなります。しかし、因数分解は展開の後、同類項をまとめたりしたことに
よって形が変わったものを、元に戻そうとするのですから、無理があるのは当
然です。
数学の中でも「逆」の考えというのは、ムズカシイのです。足し算の「逆」
の引き算、掛け算の「逆」の割り算などやはり「逆」の方がムズカシイですよ
ね。
したがって、乗法公式に対しての気構えとしては、「展開」の時には計算が
楽に、早くできる「おいしい公式」、「因数分解」の時には知らないとできな
い「覚えておかなければいけない公式」と思ってください。もちろん、因数分
解の時でも、公式を知らなくてもできますが、かなり大変です。そして、公式
は使いながら覚えるようにしてください。練習量が大事です。
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２．無理数は無理な数？
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有理数・無理数を表す英語は、
有理数=rational number
無理数=irrational number
です。rational に「理性的な」とか「合理的な」というような意味があるの
で、有「理」数という言葉を作ったのではないかと思います。ですが、もとも
とは、「比」を表す ratio が語源なのです。つまり、比で表せる数という意
味で、rational number と言っているのです。その否定が irrational number
ですから、比で表せない数という意味です。そして、これが有理数・無理数の
定義そのものなのです。つまり、
有理数とは
2つの自然数の比（分数）で表せる数
無理数とは
2つの自然数の比（分数）で表せない数
です。したがって、無理数とは「無理」な「数」ということではありません。
「無理」な「数」って何？と考えるとワケが分からなくなってしまいますよね。
もっとも、「無理数」とは、2つの自然数の比（分数）で表すことが「無理」
な「数」と覚えるのも１つの手だとは思いますが。できれば数学のトリビアと
して、上記のことを覚えておいてもらえたら嬉しいですね（笑）
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今回は、意外と理解されていない「因数分解」について取り上げました。次
回は、具体的な問題を見ていきたいと思います。２次関数で必要になる「平方
完成」についても、うまく習得できていない人が多いので、「因数分解」の後
で、取り上げてみたいと思います。
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