第0006号 問題の考え方（接線の方程式・その２）
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┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0006号 (2006/03/06) ┃
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高校で数学を教えている現役教師が、数学の勉強の仕方、見方、考え方につ
いて、ちょっとしたヒントを毎週月・木にお届けします。
合言葉は、
☆少なく覚えて、とことん使う！
☆センスは身につくもの！
です！
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問題の考え方（接線の方程式・その２）
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前号では下のような接線の方程式を求める問題の解き方について、大まかな
流れを考えました。
┌──────────────────────────────────┐
│ │
│ 問 点(-3,5)から放物線y=x^2-4xに引いた接線の方程式を求めなさい。 │
│ │
└──────────────────────────────────┘
今回はそれを実際に計算してみようということだったのですが、まずは必要と
なる技や公式を確認しておきたいと思います。
与えられた関数から、ある点（仮にAとしておきましょう）における微分係
数を求めるには、次のようにします。
(1) 与えられた関数を微分して導関数を求める
(2) (1)で得られた導関数に点Aのx座標を代入する
２次式や３次式などで表される関数を微分するための基本公式は、次の３つを
覚えるように生徒に言っています。
(1) y=k（kは定数）─(微分)→ y'=0
(2) y=ax ─(微分)→ y'=a
(3) y=x^n ─(微分)→ y'=nx^(n-1)
通常(3)は(2)に含まれるものとして書いてありますが、別枠で覚えておいた方
が実際に微分するときには早く判断ができますので、このようにしています。
（少なく覚えるの趣旨に反するようですが…苦笑）ただし、公式として覚える
のは最初のうちだけで、最終的には余り考えずに、自然にスラスラとできるよ
うになるまで練習してください。特に(3)の式は、言葉で言い換えて、
指数を係数として前に掛けて、次数を一つ下げる
と覚えるようにします。式を覚えて当てはめるのではなく、どのように書いて
いくか、という操作の方法を言葉にして覚えるのです。そうすると、繰り返し
使っていくうちに、一々言葉を思い出さなくても、身体が自然と動くようにな
ります。
あと２つ技を覚えておかなければなりません。それは、「係数は微分してか
ら掛ければよい」と「足し算や引き算でつながっている項は、それぞれの項ご
とに微分することができる」というものです。これは、教科書などでは「微分
の性質」としてまとめられています。なぜそれが成り立つのか、という説明は
ここでは省略します。
今回の問題を例に説明します。
y=x^2-4x を微分するとき、x^2 と -4x はそれぞれ別に微分して、あとか
らまた合体させれば良いのです。
つまり、
┌─１を引く─┐
↑ ↓指数が２ですから１を引いて x^1 すなわち x
x^2 ─(微分)→ 2x
↓ ↑指数が２ですから、それを前に係数として掛けます
└─────┘
-4x ─(微分)→ -4
↓ ↑●xという式を微分すると、係数の●だけになります
└───────┘
これらを最後に合体させて、
y'=2x-4 ………(＊)
となるのです。
まずは、微分ができないとどうにも進めませんので、くどいとは思いました
が、説明しました。微分して得られた(＊)の式に、接点のx座標を代入して計
算すると、その点における微分係数が求まります。
次に接線の方程式を求めるために、直線の方程式を求める公式を使います。
これは、中学校で習った方法でももちろんできますが、この公式を覚えておけ
ば、多少複雑な計算になってもできますし、何より思考の流れを止めずに、直
線の方程式を求める計算に入れますので、脳力の節約にもなります。そのあた
りの詳しい話は別の機会に譲ります。（ナンだか「別の機会に譲る」というセ
リフを何度も書いている気がしますが…苦笑）
さて、直線の方程式を求める公式ですが、苦手な人は、基本公式として次の
公式１つをしっかりマスターしてください。これは、式を覚えておいて、そこ
に数値などを当てはめて計算するタイプの公式です。
┌───────────────────────┐
│ 傾きがmで、点(○,△)を通る直線の方程式は、 │
│ y-△=m(x-○) │
└───────────────────────┘
そして、補足として「直線の傾きとその直線が通る点の座標の一つが分かれば
直線の方程式は求められる」ということも覚えておいてください。キーワード
は、「傾き」と「通る点の座標」です。普通、教科書では点の座標を(○,△)
とはしません。ここでは、文字にあまり囚われてほしくなかったので、あえて
○と△にしました。私は、普段の授業でこの公式を使うときには、「yマイナ
ス通る点のy座標イコール、傾き掛けるかっこxマイナス通る点のx座標」と言
いながら、黒板に書くようにしています。（文字で書くと読みづらいですね…）
さて、本題に入ります。今回も長くなってしまいますが、ご容赦ください。
前回、接点のx座標を何か文字でおいて、それを使って計算していこう、とい
う話になっていたと思います。
そこで、まずは接点のx座標をaとおくことにしましょう。そうすると、接点
のy座標は、y=x^2-4xに接点のx座標aを代入して、
y=a^2-4a
となります。したがって、接点の座標は、
(a , a^2-4a) ………(イ)
↑ ↑
x座標 └y座標
となります。
次に、接線の傾きですが、さきほど求めたように、y=x^2-4xを微分すると、
y'=2x-4
となりますから、これに接点のx座標aを代入して、
y'=2a-4 ………(ロ)
となります。(イ)、(ロ)から求めようとしている接線は、
傾きが 2a-4 で、点(a , a^2-4a)を通る直線
ということになりますので、さきほどの直線の方程式を求める公式に当てはめ
て、
y-(a^2-4a)=(2a-4)(x-a)
~~↑~~ ~~↑~~ ↑
y座標 傾き x座標
となります。左辺の -(a^2-4a) を右辺に移項して計算すると、次のようにな
ります。
y=(2a-4)x-a(2a-4)+a^2-4a
=(2a-4)x-2a^2+4a+a^2-4a
=(2a-4)x-a^2 ………(ハ)
ここまでが、前回の
┌──────────────────────────────┐
│ 放物線の方程式に接点のx座標を代入し、接点のy座標を求める │
│ ↓ │
│ 放物線の方程式を微分する（導関数を求める） │
│ ↓ │
│ 導関数に接点のx座標を代入し接線の傾きを求める │
│ ↓ │
│ 接点の座標と接線の傾きから、接線の方程式を求める │
└──────────────────────────────┘
を実行してみた結果です。文字aを含んだ計算なので、難しく感じる人もいる
かもしれませんが、やっていることは係数が数のときと同じです。文字が入っ
ていても構わずにやる！そこが大事です。
問題で出されている条件を全て使っているなら、ここでおしまいとなるので
すが、どうでしょうか？最初の問題をもう一度見て、使っていない条件がある
かどうか考えてください。そうですね。「点(-3,5)から接線を引く」という条
件を使っていませんね。ただ、一度使った条件をもう一度使ったり、余分な条
件がついているということもないとは言えませんので、注意してください。
さあ、ゴールにだいぶ近づいてきました。「点(-3,5)から接線を引く」とい
うことは、この接線は「点(-3,5)を通る」ということになります。そこで、こ
の点の座標を、さきほどの(ハ)の式に代入してみます。そうすると、
5=-3(2a-4)-a^2 ………(ヘ)
となり、これはaについての方程式ですから、それを解けばいいのです。ここ
で、「解けばいいのです」と簡単に書きましたが、それができなかったらどう
なるでしょうか？ここまでやってきたことが水の泡になってしまいますね。で
すから、問題を解くためのアイディアも大事ですし、同時に計算や方程式・不
等式を解く技術も大事だということになります。もちろん公式や解法について
の知識も必要です。そういった計算や方程式・不等式を解くことの重要性を意
識して練習してみてください。面倒くさいと思っていた計算練習が、気持ちの
上でもずいぶん違うと思いますよ。
本題に戻ります。(ヘ)の方程式を解いてみましょう。
5=-3(2a-4)-a^2
5=-6a+12-a^2
a^2+6a-7=0
(a-1)(a+7)=0
a=1,-7 ………(ト)
いよいよ大詰めです。(ト)のaの値を(ハ)の式のaに代入します！そうすると、
a=1 のとき、
y=(2・1-4)x-1^2
=-2x-1
a=-7 のとき、
y={2・(-7)-4}x-(-7)^2
=-18x-49
となりますので、求めようとしていた接線の方程式は、
y=-2x-1 と y=-18x-49
です。ようやく答えまでたどり着きました。お疲れ様でした！m(_ _)m
─…─編集後記─…───…───…───…───…───…───…──
今回は問題解決編ということもあって、相当に長くなってしまいました。実
は、途中で終わりにして「次回へ続く」にしようかな、とも考えました。しか
し、あまり勿体つけても仕方がありませんし、何より１つの問題を３回に分け
て送信するのは、間が空き過ぎるだろうと思い、無理やり１回におさめてしま
いました。そのせいで、かなり長いメルマガになってしまいました。最後まで
読んでくださった方、本当にありがとうございます。感想やご意見、ご要望な
どありましたら下記メールアドレスにお送りください。次回は、接線の方程式
を求める今回の問題の、別の解き方を紹介します。では、また木曜日にお会い
しましょう。
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