第0093号 複雑な因数分解２（解答）
☆━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃
┃ 第0093号 (2009/06/19) ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━☆
※初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ
いての約束事を２、３書いておくことにします。
☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。
（例）xの2乗 ⇒ x^2
☆添え字は_1、_2といった形で書きます。
（例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2
対数の底a ⇒ log_a x
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
複雑な因数分解２（解答）
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
問 次の因数分解をしてください。
(1) x^6 + 7x^3 - 8
＜コメント＞
第90・91号の(4)と同じく、複2次式と呼ばれる式ですが、今度は x^3 が
ベースとなっていますので、その分複雑になっています。
＜解答＞
x^6 + 7x^3 - 8
= ( x^3 )^2 + 7x^3 - 8
x^3 = X とおくと
( x^3 )^2 + 7x^3 - 8
= X^2 + 7X - 8
= ( X - 1 )( X + 8 )
= ( x^3 - 1 )( x^3 + 8 )
= ( x - 1 )( x^2 + x + 1 )( x + 2 )( x^2 - 2x + 4 )
= ( x - 1 )( x + 2 )( x^2 + x + 1 )( x^2 - 2x + 4 )
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(2) ( x^2 + x )^2 - 8( x^2 + x ) + 12
＜コメント＞
x^2 + x が共通にありますので、それをXに置き換えて、Xの2次式として
因数分解し、そのあと元に戻します。さらに因数分解できるときは、できる
ところまで因数分解します。
＜解答＞
x^2 + x = X とおくと
( x^2 + x )^2 - 8( x^2 + x ) + 12
= X^2 - 8X + 12
= ( X - 2 )( X - 6 )
= ( x^2 + x - 2 )( x^2 + x - 6 )
= ( x - 1 )( x + 2 )( x - 2 )( x + 3 )
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(3) ( x - 1 )( x - 2 )( x + 3 )( x + 4 ) - 36
＜コメント＞
前半の部分を工夫して展開し、(2)と同じような共通部分を作り出して、
因数分解します。
＜解答＞
( x - 1 )( x - 2 )( x + 3 )( x + 4 ) - 36
= ( x - 1 )( x + 3 )( x - 2 )( x + 4 ) - 36
= ( x^2 + 2x - 3 )( x^2 + 2x - 8 ) - 36
= ( x^2 + 2x )^2 - 11( x^2 + 2x ) + 24 - 36
= ( x^2 + 2x )^2 - 11( x^2 + 2x ) - 12
x^2 + x = X とおくと
( x^2 + 2x )^2 - 11( x^2 + 2x ) - 12
= X^2 - 11X - 12
= ( X + 1 )( X - 12 )
= ( x^2 + 2x + 1 )( x^2 + 2x - 12 )
= ( x + 1 )^2 ( x^2 + 2x - 12 )
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(4) x^4 + x^2 + 1
＜コメント＞
これは見た目は複2次式ですが、置き換えをしても因数分解できません。
これは別の方法で因数分解するのですが、普通は到底思いつくようなもので
はありませんので、特殊なケースの因数分解として、その方法を覚え、新し
い視点を手に入れるという考え方をしていただけると嬉しいです。
自分では思いつかないような解き方だからこそ、学ぶ価値があるのだと、
私は思っています。
＜解答＞
x^4 + x^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2
= ( x^2 )^2 + 2x^2 + 1 - x^2
= ( x^2 + 1 )^2 - x^2
x^2 + 1 = A とおくと
( x^2 + 1 )^2 - x^2
= A^2 - x^2
= ( A + x )( A - x )
= ( x^2 + 1 + x )( x^2 + 1 - x )
= ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 )
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
「数学マスターへの道」（毎週金曜日＋不定期）
発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/
発行人：そら（岩本 啓）
配信中止はこちらから→ http://www.mag2.com/m/0000184672.html
ご意見・ご感想などはこちらへお願いします。
→ E-Mail math_master@hotmail.co.jp
→ BLOG http://sora.mathemaster.com/
コーチングについてはこちらへ
→ Compass 2 Goal http://compass2goal.livedoor.biz/
バックナンバーはこちら
→ http://mathemaster.com/magback_index.htm
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
このメルマガに掲載された記事の無断転載・引用を禁じます。
Copyright (C) 2009 Kei Iwamoto All rights reserved.
|
|